1. Ноль - единственное число, которое нельзя представить римскими цифрами.
2. Число \(111,111,111\) умноженное на само себя дает результат, в котором каждая цифра повторяется дважды: \(12,345,678,987,654,321.\)
3. Самое короткое математическое доказательство - это доказательство теоремы Пифагора, которое можно сформулировать всего четырьмя словами: "В любом прямоугольном треугольнике."
4. Самый древний известный математический объект - это Кость Ишанго, инструмент из кости, обнаруженный в Африке и содержащий отметки, указывающие на то, что он использовался для подсчета и отслеживания лунного календаря.
5. Самое большое известное простое число на сентябрь 2021 года - \(2^{82589933}-1\), у которого \(24,862,048\) цифр.
6. Самое длинное известное доказательство - это классификация конечных простых групп, для завершения которой понадобилось более \(10,000\) страниц и работа сотен математиков в течение нескольких десятилетий.
7. Палиндромное число читается одинаково как справа налево, так и слева направо, например 121 или 12321.
8. Число Пи \(( \pi ) \) является иррациональным числом, что означает, что его нельзя выразить простой дробью. Его десятичное представление продолжается бесконечно без повторений. Оно приблизительно равно \(3.14159\).
9. Золотое сечение, часто обозначаемое греческой буквой фи \(( \varphi ) \), является иррациональным числом, приблизительно равным \(1.618\). Оно встречается в различных аспектах искусства, архитектуры и природы.
10. Тождество Эйлера - это знаменитое математическое уравнение, которое объединяет пять важных констант: \( e^{i \pi} +1=0 \), где \(e\) - основание натурального логарифма, \(i\) - мнимая единица, и \(\pi \) - отношение длины окружности к ее диаметру.
11. Слово "математика" происходит от греческого слова "матема", что означает обучение, изучение или наука.
12. "Простое число" - это число больше 1, которое делится только на 1 и само на себя. Первые несколько простых чисел: \( \text{2, 3, 5, 7, 11, и 13} \)
13. "Дружественная пара" состоит из двух чисел, таких что сумма собственных делителей каждого числа равна другому числу. Наименьшая дружественная пара: \((220, 284)\).
14. Понятие нуля как числа развивалось в Индии примерно в 5 веке. Математик и астроном Арьябхата был одним из ранних пионеров этого понятия.
15. Древнегреческий математик Пифагор известен теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов длин двух других сторон.
16. Фракталы - это геометрические фигуры, которые могут быть разделены на части, каждая из которых является уменьшенной копией целого. Фракталы часто встречаются в природе, например, в снежинках, береговых линиях и папоротниках.
17. Закон Бенфорда - это наблюдение о частотном распределении ведущих цифр во многих наборах данных, утверждающее, что меньшие цифры (например, 1 и 2) чаще всего появляются в качестве первой цифры, чем большие цифры (например, 8 и 9).
18. Парадокс дня рождения - это теория вероятности, демонстрирующая контринтуитивный результат, что в группе всего 23 человека вероятность того, что два человека имеют одинаковый день рождения, составляет 50%.
19. "Совершенный квадрат" - это число, которое можно выразить как произведение целого числа самого на себя, например \(9\) \((3 \cdot 3) \) или \(16\) \((4 \cdot 4) \).
20. Древние вавилоняне были одними из первых, кто использовал позиционную систему счисления, которая включала систему счисления по основанию 60, что привело к 60-минутному часу и 360-градусному кругу.
21. Треугольник Паскаля - это расположение чисел в треугольной форме, где каждое число является суммой двух чисел, находящихся прямо над ним. Он имеет многочисленные применения в алгебре, вероятности и комбинаторике.
22. Поверхность Мёбиуса - это односторонняя поверхность с только одним краем, которую можно создать, взяв полосу бумаги, повернув ее один раз и соединив концы.
23. Гипотеза Коллатца - это нерешенная проблема в теории чисел, которая включает в себя простой итеративный процесс: если число четное, разделите его на 2; если оно нечетное, умножьте его на 3 и добавьте 1. Гипотеза утверждает, что независимо от того, с какого положительного целого числа вы начнете, вы в конечном итоге дойдете до числа 1.
24. Китайская теорема об остатках - это метод решения системы линейных сравнений, который возник в Древнем Китае примерно в 3 веке н.э.
25. Слово "гугол" - это термин для числа 1, за которым следует 100 нулей, а "гуголплекс" - это 1, за которым следует гугол нулей. Эти числа настолько велики, что используются в основном для иллюстрации концепции чрезвычайно больших количеств.
26. Гипотеза о близнецах-простых числах - это нерешенная проблема, которая подразумевает, что существует бесконечно много пар простых чисел с разницей в 2, таких как \( \text{(3, 5), (11, 13), или (41, 43)} \).
27. Сумма углов в любом треугольнике всегда равна 180 градусам.
28. В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна \((n-2) \cdot 180 \), где \(n\) - количество сторон.
29. Гипотеза Римана - это нерешенная проблема, связанная с распределением простых чисел и ненулевыми нулями функции дзета Римана.
30. Сумма первых \(n\) нечетных чисел всегда равна \(n^2\). Например, \(1+3+5=3^2=9\).
31. Квадратный корень из 2, также известный как постоянная Пифагора, является иррациональным числом, приблизительно равным \(1.414\).
32. "Многоугольник" - это замкнутая двумерная фигура с прямыми сторонами. Самый простой многоугольник - треугольник, а многоугольник с множеством сторон называется "мегагон".
33. Древнегреческий математик Евклид известен как "отец геометрии" и написал влиятельную книгу "Элементы", которая была основным учебником для изучения математики на протяжении веков.
34. Снежинка Коха - это фрактальная кривая, которая начинается с равностороннего треугольника и рекурсивно добавляет более маленькие равносторонние треугольники к его сторонам. Кривая имеет бесконечную длину, но ограничивает конечную площадь.
35. "Равнобедренный" треугольник имеет две стороны одинаковой длины, в то время как "равносторонний" треугольник имеет все три стороны одинаковой длины. "Неравносторонний" треугольник не имеет равных сторон.
36. "Ромб" - это четырехугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины. Если у ромба также есть прямые углы, он является квадратом.
37. Треугольник Серпинского - это фрактальный узор, создаваемый рекурсивным удалением равносторонних треугольников из большого равностороннего треугольника, что приводит к узору все более мелких треугольников.
38. "Топология" - это раздел математики, который занимается свойствами пространства, сохраняемыми при непрерывных преобразованиях, таких как растяжение или изгиб. Иногда ее называют "геометрией резинового листа".
39. "Парадокс" - это утверждение или проблема, которая кажется противоречивой или противоречащей интуиции. В математике есть много известных парадоксов, таких как Парадокс Рассела, который связан с множеством всех множеств, которые не содержат себя.
40. Закон больших чисел - это теорема в теории вероятностей, которая утверждает, что по мере увеличения числа испытаний в случайном эксперименте среднее значение результатов приближается к ожидаемому значению.
41. В геометрии "соответствующие" фигуры идентичны по размеру и форме, в то время как "подобные" фигуры имеют одну и ту же форму, но могут иметь разные размеры.
42. Гармонический ряд - это сумма обратных величин натуральных чисел: \( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots \) Это расходящийся ряд, что означает, что его сумма стремится к бесконечности при добавлении большего количества членов.
43. "Матрица" - это прямоугольный массив чисел или символов, упорядоченных в строки и столбцы. Матрицы используются в различных областях математики, включая линейную алгебру, для представления и манипулирования линейными уравнениями.
44. В теории графов "гамильтонов путь" - это путь в неориентированном графе, который посещает каждую вершину ровно один раз. "Гамильтонов цикл", с другой стороны, - это гамильтонов путь, который является циклом, что означает, что он начинается и заканчивается в одной и той же вершине.
45. Древнегреческий философ Зенон из Элеи известен своими парадоксами, которые включают бесконечные процессы и подчеркивают трудности в понимании концепций, таких как бесконечность, непрерывность и движение.
46. Математическая константа "\(e\)" - это иррациональное число, приблизительно равное \(2.718\). Оно является основанием натурального логарифма и имеет многочисленные применения в математике, особенно в исчислении и экспоненциальном росте.
47. "Вершина" - это точка, где пересекаются две или более линии или ребра, в то время как "ребро" - это отрезок прямой, соединяющий две вершины в форме или графе.
48. "Дополнительный" угол - это угол, который, добавленный к другому углу, дает сумму 90 градусов. "Смежные" углы, с другой стороны, составляют в сумме 180 градусов.
49. "Перестановки" относятся к расположению объектов в определенном порядке, в то время как "комбинации" включают выбор объектов без учета порядка, в котором они появляются.
50. Древние египтяне использовали десятичную систему и базовую геометрию для выполнения вычислений, связанных с сельским хозяйством, строительством и астрономией.
51. Пифагоровы тройки - это наборы трех положительных целых чисел \(a\), \(b\) и \(c\), которые удовлетворяют теореме Пифагора, \(a^2+b^2=c^2\). Одним из известных примеров является тройка \(3-4-5\).
52. Закон синусов - это тригонометрическое уравнение, которое связывает отношения сторон и углов в любом треугольнике: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
53. "Арифметика" относится к изучению чисел и их свойств при базовых операциях, таких как сложение, вычитание, умножение и деление, в то время как "алгебра" включает манипулирование символами и изучение математических структур.
54. "Полиэдр" - это трехмерная твердая фигура, образованная плоскими многоугольными гранями, прямыми ребрами и острыми углами или вершинами. "Платоново тело" - это специальный тип полиэдра, который является как выпуклым, так и имеет все свои грани согласованными правильными многоугольниками.
55. "Диаграмма Венна" - это способ визуального представления отношений между различными множествами с использованием перекрывающихся кругов или других форм.
56. Термин "декартовы координаты" происходит от французского математика Рене Декарта, который разработал систему для представления точек в двух или трехмерном пространстве с использованием упорядоченных пар или троек чисел.
57. Множество Мандельброта - это знаменитый фрактал, названный в честь математика Бенуа Мандельброта, который изучал его свойства в 1970-х и 1980-х годах.
58. Иррациональное число \(\sqrt{2}\), приблизительно равное \(1.414\), является длиной диагонали квадрата со стороной 1.
59. "Целое число" - это целое число, включая положительные числа, отрицательные числа и ноль. Множество целых чисел обозначается буквой "\(Z\)" от немецкого слова "Zahlen", что означает "числа".
60. Число "\(i\)" - это мнимая единица, определенная как квадратный корень из \(-1\). Оно является основой комплексных чисел, которые имеют действительную часть и мнимую часть.
61. В вероятности "независимые события" - это события, которые не влияют на вероятность возникновения друг друга.
62. "Гипотеза" - это математическое утверждение, которое считается истинным, но еще не было доказано.
63. "Доказательство" - это логический аргумент, демонстрирующий истину математического утверждения с использованием установленных правил и ранее доказанных теорем.
64. "Порядок операций" - это набор правил, которые определяют последовательность выполнения математических операций. Самый распространенный мнемонический способ запоминания порядка - PEMDAS (Скобки, Показатели, Умножение и Деление, и Сложение и Вычитание).
65. "Простой множитель" - это простое число, которое делит заданное число точно, без остатка. Разложение на простые множители - это процесс разложения числа на простые множители. Например, разложение на простые множители числа 12 - \(2^2 \cdot 3 \).
66. "Трансцендентные числа" - это действительные или комплексные числа, которые не являются корнями ненулевого многочлена с целыми коэффициентами. Пи \(( \pi) \) и \(e\) - примеры трансцендентных чисел.
67. "Асимптота" - это линия, к которой кривая приближается, но никогда не касается, когда она стремится к бесконечности. Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными или наклонными (наклонными).
68. "Абсолютное значение" числа - это его расстояние от нуля на числовой оси, не учитывая его знак. Например, абсолютное значение -5 равно 5, и абсолютное значение 5 также равно 5.
69. "Криптография" - это изучение безопасной коммуникации, часто включающее использование математических методов для шифрования и дешифрования информации. Простые числа играют ключевую роль в современных алгоритмах криптографии.
70. "Тесселяция" - это узор из фигур, которые идеально сочетаются друг с другом, чтобы покрыть плоскость без зазоров или перекрытий. Регулярные многоугольники, которые могут тесселировать плоскость, включают равносторонние треугольники, квадраты и правильные шестиугольники.
71. "Наибольший общий делитель" (НОД) двух чисел - это наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка. "Наименьшее общее кратное" (НОК) двух чисел - это наименьшее положительное целое число, которое является кратным обоим числам.
72. Математическая дисциплина "исчисление" занимается изучением изменений и движения через понятия производных (скоростей изменения) и интегралов (накопленных изменений).
73. "Формула Эйлера" - это фундаментальное уравнение в комплексном анализе, которое связывает экспоненциальную функцию с тригонометрическими функциями: \( e^{ix}= \cos (x) + i \, \sin (x) \).
74. "Латинский квадрат" - это сетка \(n \cdot n\), заполненная \(n\) различными символами, так что каждый символ появляется ровно один раз в каждой строке и столбце. Головоломки судоку - это пример латинского квадрата с дополнительными ограничениями на более мелкие сетки \(3 \cdot 3\).
75. "Теория игр" - это раздел математики, изучающий принятие решений в ситуациях, где несколько игроков взаимодействуют и принимают решения на основе потенциальных действий других игроков.
76. В последовательности Фибоначчи каждое число является суммой двух предыдущих, начиная с 0 и 1. Последовательность идет \( \text{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,}\) и так далее.
77. Золотое сечение, часто обозначаемое греческой буквой \(\varphi \) (фи), является иррациональным числом, приблизительно равным \(1.618\). Оно встречается в различных областях математики, искусства и природы, часто в связи с последовательностью Фибоначчи.
78. Факториал неотрицательного целого числа \(n\), обозначаемый \(n!\), является произведением всех положительных целых чисел, меньших или равных \(n\). Например, \( 5! =5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 \).
79. "Идеальное число" - это положительное целое число, равное сумме своих собственных делителей, за исключением самого себя. Первые несколько идеальных чисел - 6, 28 и 496.
80. "Mersenne prime" - это простое число, которое можно записать в форме \( 2^n-1 \), где \(n\) - положительное целое число. Примеры включают 3 \((2^2–1)\) и 31 \((2^5–1)\).
81. "Ставка Паскаля" - это философский аргумент Блеза Паскаля, который предполагает, что более разумно верить в Бога, так как потенциальные выгоды веры перевешивают потенциальные издержки неверия.
82. В геометрии "дилатация" - это преобразование, которое изменяет размер фигуры, но сохраняет ее форму и пропорции. Он также называется "масштабированием" или "гомотетией".
83. "Шестнадцатеричная система" - это шестнадцатеричная система счисления, используемая в вычислениях и цифровых системах. Она использует шестнадцать различных символов: 0-9 для представления значений от 0 до 9 и A-F для представления значений от 10 до 15.
84. "Группа" - это математическое понятие, которое объединяет набор с операцией, которая удовлетворяет определенным свойствам, таким как замыкание, ассоциативность, идентичность и обратимость.
85. Проблема "P vs NP" - это нерешенный вопрос в информатике и математике, который спрашивает, может ли каждая проблема, решение которой компьютер может быстро проверить, также быть быстро решена компьютером.
86. "Магический квадрат" - это расположение различных чисел в квадратной сетке так, чтобы сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали была одинакова.
87. В теории чисел "Последняя теорема Ферма" утверждает, что ни для каких трех положительных целых чисел \(a\), \(b\) и \(c\) уравнение \(a^n + b^n =c^n \) не имеет решения для любого целочисленного значения \(n\), большего чем 2. Эта теорема была доказана Эндрю Уайлсом в 1994 году.
88. "Теория узлов" - это раздел математики, изучающий свойства замкнутых петель в трехмерном пространстве, известных как узлы, и их возможные преобразования.
89. "Граф" - это математическое представление набора объектов, соединенных связями. Графы могут использоваться для моделирования различных явлений реального мира, таких как социальные сети, транспортные системы или интернет.
90. "Проблема коммивояжера" - это классическая задача оптимизации, которая заключается в поиске кратчайшего возможного маршрута, проходящего через заданный набор городов и возвращающегося в исходный город. Это NP-трудная задача, для которой не существует известного эффективного алгоритма для нахождения оптимального решения.
91. В статистике "центральная предельная теорема" утверждает, что распределение суммы (или среднего) большого количества независимых, одинаково распределенных случайных величин приближается к нормальному распределению, независимо от первоначального распределения величин.
92. "Доказательство от противного" - это метод математического доказательства, который устанавливает истину утверждения, предполагая, что его отрицание истинно, и затем показывая, что эта гипотеза приводит к противоречию.
93. "Диофантовы уравнения" - это полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами, для которых ищутся целочисленные решения. Они названы в честь древнегреческого математика Диофанта, который изучал их подробно.
94. "Теорема четырех красок" утверждает, что любую карту на плоскости или сфере можно раскрасить, используя только четыре цвета таким образом, чтобы ни две соседние области не имели одного и того же цвета. Теорема была впервые предложена в 1852 году, а ее доказательство было завершено в 1976 году с помощью компьютерной помощи.
95. "Проблема Монти Холла" - это задача вероятности, названная в честь ведущего телевизионного игрового шоу "Давай заключим сделку". Она заключается в выборе между тремя дверями, за одной из которых находится приз, и иллюстрирует неинтуитивную природу вероятности.
96. "Квадратное уравнение" - это полиномиальное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - константы. Решения квадратного уравнения можно найти, используя квадратную формулу:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
97. "Принцип голубятни" - это основной принцип комбинаторики, который утверждает, что если \(n\) предметов помещаются в \(m\) контейнеров, с \( n > m \), то по крайней мере один контейнер должен содержать более одного предмета.
98. "Башни Ханоя" - это классическая головоломка, состоящая из трех стержней и нескольких дисков разного размера. Цель - переместить всю стопку дисков с одного стержня на другой, следуя определенным правилам: только один диск может быть перемещен за раз, диск можно поместить только на верхушку большего диска, и в любое время диск не может быть помещен на верхушку меньшего диска.
99. "Нормальное распределение", также известное как гауссовское распределение или колоколообразная кривая, является непрерывным вероятностным распределением, симметричным относительно среднего, что показывает, что данные, близкие к среднему, более часто встречаются в появлении, чем данные, далекие от среднего.