| n | \( a^n - b^n \) |
| 2 | \( (a - b)(a + b) \) |
| 3 | \( (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) |
| 4 | \( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) |
| 5 | \( (a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4) \) |
| n | \( a^n + b^n \) |
| 2 | \( (a + b)^2 - 2ab \) |
| 3 | \( (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) |
| 4 | \( (a^2 + 2ab + b^2)^2 - 4a^2 b^2 \) |
| n | \( (a-b)^n \) |
| 2 | \(a^2 - 2ab + b^2\) |
| 3 | \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) |
| 4 | \(a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\) |
| 5 | \(a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5\) |
| n | \( (a+b)^n \) |
| 2 | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| 3 | \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) |
| 4 | \(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\) |
| 5 | \(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\) |
| Expression | Expansion |
| \((a + b + c)^2\) | \( \small a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \) |
| \((a - b - c)^2\) | \( \small a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc\) |
| \((x + a)(x + b)\) | \(x^2 + (a + b)x + ab\) |
| \((x - a)(x - b)\) | \(x^2 - (a + b)x + ab\) |
\( (x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k} \)
Биномиальная теорема утверждает, что для любого неотрицательного целого числа \(n\) разложение \( (x+a)^n \) представляется суммой членов, содержащих \(x\) и \(a\), каждый возведенный в некоторую степень:
Здесь: \(n\) - неотрицательное целое число.
\(n\) целое неотрицательное число.
\( \sum \) представляет собой символ суммирования, означающий суммирование членов, генерируемых формулой в скобках для \(k = 0\) до \(n\).
\( \binom{n}{k}\) или \( _nC_k\) (также записывается как C(n,k) или "n choose k") представляет собой биномиальный коэффициент, который представляет собой количество способов выбрать \(k\) элементов из набора из \(n\) элементов. Он вычисляется с помощью формулы:
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) где "\(!\)" обозначает функцию факториала.
\( x^k \) и \(a^{n-k} \) - это члены, содержащие \(x\) и \(a\), каждый возведенный в некоторую степень.
В разложении \((x+a)^n\) есть \((n+1)\) членов, причем каждый член представляет собой произведение биномиального коэффициента, \(x\) возведенного в некоторую степень и \(a\) возведенного в некоторую другую степень. Степени \(x\) уменьшаются, а степени \(a\) увеличиваются по мере продвижения от первого члена к последнему члену в разложении.
Например, \((x+a)^3 \) : $$ (x+a)^3 = (nC0) x^3 a^0+ (nC1) x^2 a^1+ (nC2) x^1 a^2+ (nC3) x^0 a^3 $$ Используя биномиальные коэффициенты: $$ (x+a)^3 = 1(x^3 )(a^0)+3(x^2 )(a^1 )+3(x^1 )(a^2 )+1(x^0 )(a^3 )= x^3+3x^2 a+3xa^2+a^3 $$
Эта формула позволяет нам легко разлагать биномы, возведенные в любую степень, без необходимости многократного применения распределительного свойства вручную.
