1. Вычислить предел
Вычислите предел при \(x\), стремящемся к бесконечности:
\( \frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 2x^2 - x + 1} \)
2. Сумма бесконечного ряда
Найдите сумму ряда:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4 + 4} \)
3. Теорема о рациональных корнях
Докажите, что уравнение не имеет рациональных корней:
\( x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 = 0 \)
4. Дифференциальное уравнение
Найдите общее решение дифференциального уравнения:
\( y' - 2y = e^{2x} \)
5. Площадь между кривыми
Найдите площадь, ограниченную кривыми:
\( y = x^2 \) и \( y = x^3 - x \)
6. Решение тригонометрического уравнения
Решите уравнение:
\( \sin x + \cos x = 1 \), \( 0 \le x \le 2\pi \)
7. Сумма кубов
Докажите, что:
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 \)
для всех натуральных чисел \(n\).
8. Касательная к кривой
Найдите уравнение касательной к кривой \( y = e^{3x} \ln x \) в точке \((1,0)\).
9. Радиус сходимости
Определите радиус сходимости степенного ряда:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n} \)
10. Доказательство биномиальной теоремы
Докажите, что:
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
11. Объем тела вращения
Найдите объем тела, образованного вращением области, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y = x\), вокруг оси \(x\).
12. Предел последовательности
Докажите, что \( \underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n!}{n^n} = 0 \).
13. Диофантово уравнение
Найдите наименьшее положительное целое решение уравнения:
\( 7x + 11y = 2023 \).
14. Неравенство в треугольнике
Докажите, что для любого треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) выполняется неравенство:
\( \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq abc \).
15. Вычисление определенного интеграла
Найдите значение интеграла:
\( \int_0^\infty \frac{x^3}{{(x^2+1)^2}} \, dx \).
16. Экстремумы функции
Найдите максимальное и минимальное значения функции \( f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 5x^2 \) на интервале \( [0, 2] \).
17. Доказательство иррациональности
Докажите, что \( \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49} \) является иррациональным числом.
18. Рекуррентное соотношение
Найдите общее решение рекуррентного соотношения \( a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \), при условии \( a_0 = 1 \) и \( a_1 = 3 \).
19. Вычисление двойного интеграла
Вычислите двойной интеграл:
\( \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{{(x^2+y^2)^2}} \, dy \, dx \).
20. Сумма углов в многоугольнике
Докажите, что сумма углов в \(n\)-угольнике равна \( 180^\circ (n-2) \).
21. Сумма бесконечного геометрического ряда
Найдите сумму бесконечного геометрического ряда:
\( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \).
22. Свойства простого числа
Докажите, что для любого простого числа \(p\) число \( \frac{p-1}{2} \) нечетно тогда и только тогда, когда \( p \equiv 3 \pmod{4} \).
23. Длина дуги кривой
Найдите длину дуги кривой \( y = \frac{1}{3} x^3 - x \) от \(x = 0\) до \(x = 2\).
24. Уникальные перестановки
Определите количество уникальных способов перестановки букв в слове "MATHEMATICS" так, чтобы две буквы "M" не стояли рядом.
25. Формула суммы кубов
Докажите, что для всех натуральных чисел \(n\) выполняется:
\( 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 \).
26. Площадь в комплексной плоскости
Найдите площадь треугольника с вершинами в комплексных числах \( z_1 = 1 + 2i \), \(z_2 = 2 + i \) и \( z_3 = 1 + i \) на комплексной плоскости.
27. Корни многочлена
Докажите, что корни многочлена \( P(x) = x^n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n a_n \) все действительны тогда и только тогда, когда \( a_i \geq 0 \) для всех \( 1 \leq i \leq n \).
28. Несобственный интеграл
Вычислите несобственный интеграл:
\( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{1 + x^2}} \, dx \).
29. Комплексные числа
Если \(z\) — комплексное число такое, что \(z^4 = 1\), докажите, что \(z^2 - z + 1 = 0\) тогда и только тогда, когда \( z \neq 1 \).
30. Бесконечное количество простых чисел
Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида \(4k + 3\), где \(k\) — целое число.