Математические трюки могут быть веселым способом ускорить вычисления и поразить ваших друзей. Вот некоторые из лучших математических трюков:
Умножение на 11:
При умножении двузначного числа на 11 разделите две цифры и сложите их. Затем поместите сумму между исходными двумя цифрами.
Пример: \(35 \cdot 11=3 (3+5) 5=385 \)
Возведение в квадрат чисел, заканчивающихся на 5:
Возьмите первую цифру, умножьте ее на следующую более высокую цифру, а затем добавьте 25 к результату.
Пример: \( 75^2=(7 \cdot 8)25=5625 \)
Умножение на 5:
При умножении числа на 5 вы можете умножить на 10, а затем разделить на 2.
Пример: \( 48 \cdot 5=\frac{48 \cdot 10}{2} = 240 \)
Умножение на 9:
Чтобы умножить однозначное число на 9, вычтите 1 из числа, а затем вычтите результат из 9, чтобы получить вторую цифру.
Пример: \( 7\cdot 9=63 (7-1=6,9-6=3) \)
Быстрый расчет процентов:
Чтобы найти процент от числа, вы можете переместить десятичную точку на два разряда влево и умножить на процент.
Пример: \( 45 % от 200= 0.45 \cdot 200=90 \)
Сложение больших чисел:
При сложении больших чисел часто легче округлить их до ближайшего 10, 100 или 1000, а затем вычесть разницу.
Пример: \( \small 568+379=(570–2)+(380–1)=950–3=947 \)
Правила делимости:
⠐ Число делится на 2, если его последняя цифра четная.
⠐ Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
⠐ Число делится на 4, если последние две цифры делятся на 4.
⠐ Число делится на 5, если оно заканчивается на 0 или 5.
⠐ Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
⠐ Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
⠐ Число делится на 10, если оно заканчивается на 0.
Удвоение и деление пополам:
При умножении двух чисел вы можете удвоить одно число и разделить другое, чтобы упростить расчеты. Повторите процесс при необходимости.
Пример: \( 14 \cdot 24=(7 \cdot 48)=(3.5 \cdot 96)=336 \)
Умножение на 15:
Для умножения числа на 15 вы можете умножить число на 10, а затем добавить половину произведения к результату.
Пример: \( 15 \cdot 8=(8 \cdot 10)+(8 \cdot 5)=80+40=120 \)
Вычитание из 1,000:
Чтобы вычесть трехзначное число из 1,000, вычтите каждую цифру из 9, за исключением последней цифры, которую вы вычитаете из 10.
Пример: \( 1,000 –634=(9-6)(9-3)(10-4)=366 \)
Возведение в квадрат чисел, близких к 100:
Если число близко к 100, его можно возвести в квадрат, найдя разницу от 100, добавив/вычтя эту разницу, а затем умножив разницу на себя.
Пример: \( 97^2=(100–3)^2=(97–3) 3^2=94 09=9409 \)
Нахождение среднего значения двух чисел:
Чтобы найти среднее значение двух чисел, сложите их вместе и разделите на 2, или вы можете найти разницу между числами, разделить ее на 2, а затем добавить результат к меньшему числу.
Пример: Среднее значение 45 и 65 равно \( \frac{45+65}{2} = \frac{110}{2} = 55 \)
Быстрое возведение в степень с использованием возведения в квадрат:
Чтобы возвести число в степень, возведите число в квадрат, а затем умножьте его на себя необходимое количество раз. Это особенно полезно для вычисления степеней с четными показателями.
Пример: \( 3^4= (3^2 )^2= 9^2= 81 \)
Перевод между Фаренгейтом и Цельсием:
Чтобы перевести из градусов по Фаренгейту в градусы по Цельсию, вычтите 32 из температуры по Фаренгейту, а затем умножьте результат на \( \frac{5}{9} \). Для перевода из градусов Цельсия в градусы по Фаренгейту умножьте температуру по Цельсию на \( \frac{9}{5} \) и добавьте 32.
Пример: 68 F в градусах Цельсия \( (68-32) \cdot \frac{5}{9} = 36 \cdot \frac{5}{9} \approx 20^\circ \)
Нахождение суммы целых чисел от 1 до \(n\):
Чтобы найти сумму всех целых чисел от 1 до n, используйте формулу: \( \frac{n(n + 1)}{2} \)
Пример, Сумма целых чисел от 1 до 100:
\(1 \to 100=\frac{100 \cdot (100 + 1)}{2}=5050 \)
Нахождение площади равностороннего треугольника:
Зная длину стороны равностороннего треугольника, найдите площадь с помощью формулы:
\( \frac{\text{длина стороны}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \)
Пример, Площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 6:
\( \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \)
Приближенное нахождение квадратных корней:
Чтобы приблизительно найти квадратный корень числа, близкого к квадрату, найдите ближайшие квадраты и используйте их в качестве опоры.
Пример: \( \sqrt{82} \) находится между \( \sqrt{81} \) \((9^2 )\) и \( \sqrt{100} \) \((10^2 )\), поэтому квадратный корень чуть больше 9.
Быстрое умножение на 12:
Чтобы умножить число на 12, сначала умножьте его на 10, а затем добавьте дважды исходное число.
Пример: \( 12 \cdot 7=(10 \cdot 7)+(2 \cdot 7)=70+14=84 \)
Быстрое деление на 5:
Чтобы разделить число на 5, вы можете умножить число на 2, а затем разделить на 10.
Пример: \( 48 \div 5 = \frac{48 \cdot 2}{10} = \frac{96}{10} = 9.6 \)
Быстрое умножение на число близкое к 100:
Чтобы умножить число на число, близкое к 100, найдите разницу от 100, добавьте/вычтите разницу, а затем умножьте разницы.
Пример: \( \small 97 \cdot 103=(100–3)(100+3)=10000–9=9991 \)
Умножение чисел между 10 и 20:
Чтобы умножить два числа между 10 и 20, сначала найдите сумму цифр единиц, затем добавьте сумму к 20 и умножьте результат на 10. Наконец, добавьте произведение цифр единиц.
Пример: \( \small 17 \cdot 14=((7+4)+20) \cdot 10+(7 \cdot 4)=310+28=338 \)
Сложение/вычитание смешанных чисел:
Для сложения или вычитания смешанных чисел сложите или вычтите целые числа и дроби отдельно, а затем упростите результат.
Пример: \( \small 4 \frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4}=(4-2)+(\frac{1}{4} - \frac{3}{4})=2 - \frac{2}{4}= 1 \frac{1}{2} \)
Нахождение моды в наборе данных:
Чтобы найти моду (наиболее часто встречающееся значение) в наборе данных, подсчитайте количество раз, когда каждое значение появляется, а затем определите значение с наибольшим количеством.
Нахождение медианы в наборе данных:
Чтобы найти медиану (среднее значение) в наборе данных, сначала упорядочите значения по возрастанию, а затем найдите среднее значение. Если количество значений четное, найдите среднее двух средних значений.
Быстрое возведение в степень с использованием удвоения и деления наполовину:
Чтобы быстро возвести число в степень, многократно удваивайте число и делите показатель степени наполовину, пока показатель степени не станет 1.
Пример: \( \small 2^6 = 2 \cdot 2^5 = 4 \cdot 2^4 = 8 \cdot 2^3 = 16 \cdot 2^2 = 32 \cdot 2^1 = 64 \)
Пифагоровы тройки:
Пифагорова тройка состоит из трех положительных целых чисел \(a\), \(b\) и \(c\), таких что \(a^2 + b^2 = c^2 \). Один из способов создать пифагоровы тройки - использовать формулу Евклида:
\( a = m^2 - n^2\), \(b=2mn\), и \(c=m^2 + n^2 \), где \(m\) и \(n\) - положительные целые числа с \(m > n \).
Разность квадратов:
Разность двух квадратов может быть разложена как \( (a^2 - b^2 )= (a+b)(a–b) \). Это может быть полезно для упрощения выражений и решения уравнений.
Сумма кубов:
Сумму двух кубов можно разложить как \((a^3 +b^3 )=(a+b)(a^2 -ab+b^2 ) \)
Разность кубов:
Разность двух кубов может быть разложена как \( (a^3 - b^3) =(a–b)(a^2 + ab + b^2) \)
Квадратное уравнение:
Для решения квадратного уравнения вида \( ax^2+bx+c=0 \), используйте квадратную формулу:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
Биномиальная теорема:
Биномиальная теорема утверждает, что для любого неотрицательного целого числа \(n\) и любых действительных чисел \(a\) и \(b\),
\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \), где \(\binom{n}{k}\) - биномиальные коэффициенты, также известные как "n выбрать k" или количество способов выбора k элементов из набора из \(n\) элементов.
⠐ \( log_a (x \cdot y) =log_a (x) +log_a(y) \)
⠐ \( log_a ( \frac{x}{y} ) = log_a (x) -log_a (y) \)
⠐ \( log_a (x^n ) = n \cdot log_a (x) \)
Тождество Эйлера:
Тождество Эйлера - это изящное и глубокое уравнение, связывающее самые важные константы в математике: \(e^ {i \pi}+1=0 \), где \(e\) - основание натурального логарифма, \(i\) - мнимая единица, и \( \pi \) - отношение длины окружности к ее диаметру.
Вычисление производных:
Производная функции измеряет скорость изменения функции относительно ее входной переменной. Некоторые основные правила для вычисления производных включают:
⠐ \( (cf(x))'= c \cdot f' (x) \)
⠐ \( (f(x) \pm g(x))'=f' (x) \pm g' (x) \)
⠐ \( (f(x) \cdot g(x))' =f' (x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g' (x) \)
⠐ \( ( \frac{f(x)}{g(x)} )'=\frac{(f' (x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g' (x))}{g(x)^2} \)
⠐ \( (f(g(x)))'= f' (g(x)) \cdot g' (x) \)
Вычисление интегралов:
Интегрирование - это обратный процесс дифференцирования, используемый для нахождения площади под кривой или решения дифференциальных уравнений. Некоторые основные правила для вычисления интегралов включают:
⠐ \( \int (c \cdot f(x))dx = c \cdot \int (f(x)) dx \)
⠐ \( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int (f(x)) dx \pm \int (g(x)) dx \)
⠐ \( u=g(x) \) and \( \frac{du}{dx} = g'(x) \), then \( \int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int f(u) du \)
⠐ \( \int u dv = uv - \int v du \) , где \(u\) и \(v\) - функции.
Ряд Тейлора:
Ряд Тейлора - это представление функции в виде бесконечной суммы членов, вычисленных по значениям ее производных в одной точке. Для функции \(f(x)\) и точки \(a\), ряд Тейлора имеет вид:
\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n \) где \( f^{(n) } a \) представляет собой n-ую производную \(f\) вычисленную в точке \(a\)
Частичное разложение на простейшие дроби:
Частичное разложение на простейшие дроби - это техника, используемая для разложения рациональной функции (дроби, где числитель и знаменатель являются полиномами) в сумму более простых дробей. Это может быть полезно для интегрирования или решения дифференциальных уравнений.
Правило Крамера:
Правило Крамера - это метод решения системы линейных уравнений с использованием определителей. Для системы из \(n\) линейных уравнений с \(n\) переменными, если определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля, уникальное решение можно найти, рассчитав определители матриц, полученных заменой одного столбца на константы и разделив каждый на определитель матрицы коэффициентов.
Диагонализация матриц:
Диагонализация - это метод, используемый для нахождения диагональной матрицы, аналогичной данной квадратной матрице, если это возможно. Диагонализация матрицы может упростить процесс возведения матрицы в степень или решения дифференциальных уравнений.
Скалярное произведение и векторное произведение:
Скалярное произведение двух векторов - это скалярное значение, и его можно вычислить как сумму произведений соответствующих компонент двух векторов. Векторное произведение двух векторов - это вектор, перпендикулярный обоим входным векторам, с величиной, равной площади параллелограмма, образованного двумя входными векторами.
Теорема Стокса:
Теорема Стокса связывает линейный интеграл векторного поля вдоль замкнутой кривой с поверхностным интегралом векторного вихря векторного поля по поверхности, ограниченной этой кривой:
\(\oint_C F \cdot d r = \iint_S \nabla \times F \cdot d S\) , где \(F\) - векторное поле, \(C\) - замкнутая кривая, и \(S\) - поверхность.