Существует несколько известных нерешённых математических задач, включая «Задачи тысячелетия» или «Семь задач тысячелетия», обозначенные Институтом математики Клэя. Эти задачи считаются одними из самых значимых открытых вопросов в математике, и за решение любой из них присуждается премия в $1 миллион.
1. Гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера
Связана с эллиптическими кривыми в теории чисел и криптографии, предоставляя способ определения рациональных решений.
2. Гипотеза Ходжа
Относится к алгебраической геометрии и топологии, исследуя связь между топологией алгебраических многообразий и их алгебраической структурой.
3. Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса
Спрашивает, существуют ли гладкие и физически обоснованные решения уравнений Навье-Стокса, описывающих поведение жидкости в трёх измерениях.
4. Проблема P vs NP
Центральный вопрос в информатике: можно ли быстро решать задачи, решения которых можно быстро проверить?
5. Гипотеза Пуанкаре (решена)
Доказана Григорием Перельманом в 2003 году. Утверждает, что всякое простое связное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.
6. Гипотеза Римана
Относится к распределению простых чисел и функции Римана-дзета. Частично проверена, но общего доказательства пока нет.
7. Существование теории Янга-Миллса и разрыв масс
Посвящена квантовой теории поля и рассматривает вопрос о существовании квантовой теории Янга-Миллса с разрывом масс.
Заключение
Помимо задач тысячелетия, существуют и другие нерешённые математические проблемы, такие как гипотеза Гольдбаха, гипотеза о простых числах-близнецах и гипотеза Коллатца, которые продолжают бросать вызов математикам.