Существует много известных нерешенных математических проблем, некоторые из которых были названы "Проблемами тысячелетия" Математическим институтом Клэя. Эти проблемы считаются одними из самых важных открытых вопросов в математике, и решение любой из них приносит приз в размере 1 миллиона долларов.
Вот семь проблем тысячелетия:
1. Гипотеза Бёра и Суиннертона-Дайера: Эта гипотеза относится к эллиптическим кривым, которые являются математическими объектами с приложениями в криптографии и теории чисел. Гипотеза предлагает способ определения рациональных решений этих кривых.
2. Гипотеза Ходжа: Эта гипотеза касается алгебраической геометрии и топологии, в частности отношения между топологией алгебраических многообразий и их алгебраической структурой.
3. Существование и гладкость уравнений Навье-Стокса: Уравнения Навье-Стокса описывают поведение жидкостей, таких как воздух и вода. Эта проблема спрашивает, существуют ли гладкие, физически разумные решения для этих уравнений в трех измерениях и при всех возможных начальных условиях.
4. Проблема P vs NP: Это центральный вопрос в компьютерных науках и касается относительной сложности решения проблем и проверки их решений. Вопрос заключается в том, могут ли проблемы, решения которых можно быстро проверить (за полиномиальное время), также быть решены быстро.
5. Гипотеза Пуанкаре (решена): Эта гипотеза была доказана верной Григорием Перельманом в 2003 году. Это утверждение о топологии трехмерных пространств и утверждает, что каждое просто связное, замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.
6. Гипотеза Римана: Эта гипотеза связана с распределением простых чисел и поведением функции Римана. У нее есть значительные последствия в теории чисел и частично подтверждена для многих случаев, но общее доказательство остается неясным.
7. Существование и массовый зазор Янга-Миллса: Эта проблема касается математических основ квантовой теории поля, в частности поведения полей Янга-Миллса. Он спрашивает, существует ли квантовая теория Янга-Миллса с массовым зазором, что означает, что существует минимальная энергия, необходимая для создания частиц в поле.
Помимо этих проблем тысячелетия, существует много других значимых нерешенных проблем в математике, таких как Гипотеза Гольдбаха, Гипотеза о близнецах простых чисел и Гипотеза Коллатца. Эти проблемы тоже сопротивлялись разрешению несмотря на усилия математиков на протяжении многих лет.