Биномиальная теорема (разложение)
Биномиальная теорема, также известная как разложение бинома, является фундаментальным результатом в
комбинаторике и алгебре, описывающим разложение биномиального выражения в степень неотрицательного
целого числа. Теорема особенно полезна при работе с выражениями вида \((a+b)^n \), где \(a\) и \(b\) -
действительные или комплексные числа, а \(n\) - неотрицательное целое число.
Биномиальная теорема
утверждает, что для любого неотрицательного целого числа \(n\) и любых действительных или комплексных
чисел \(a\) и \(b\),
\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} b^k a^{n-k} \)
Здесь \(
\binom{n}{k} \), читаемое как "n выбери k", является биномиальным коэффициентом, который может быть
вычислен с помощью формулы:
\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{K!(n-k)!} \)
В этой формуле \(n!\)
обозначает факториал \(n\), который является произведением всех положительных целых чисел до \(n\).
В частности, $$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ⋯ \cdot 2 \cdot 1 $$ По соглашению, \(0! = 1 \).
Биномиальный коэффициент \( \binom{n}{k} \) представляет собой количество способов выбрать
\(k\) элементов из множества из \(n\) элементов. В контексте биномиальной теоремы это соответствует
количеству различных способов распределения \(n\) степеней \(a\) и \(b\) в каждом члене разложения.
Вот применение биномиальной теоремы к нескольким примерам: 1. Когда \(n=2\) : $$ (a + b)^2 =
\binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ 2. Когда \(n=3\)
: $$ (a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0
b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$
Биномиальная теорема имеет несколько важных свойств и применений, включая:
- Он обеспечивает эффективный метод для раскрытия биномиальных выражений, особенно для больших значений \(n\).
- Он может быть обобщен на многономы (выражения с более чем двумя членами) и на отрицательные или нецелые значения \(n\) с использованием обобщенной биномиальной теоремы Ньютона.
- Он может быть использован для вывода различных комбинаторных тождеств, таких как тождество Паскаля и тождество хоккейной клюшки.
- У него есть применения в теории вероятностей, особенно при вычислении вероятностей для случайных величин, распределенных биномиально.
Биномиальную теорему также можно понять через ее связь с известным Треугольником Паскаля, который
представляет собой бесконечный треугольный массив биномиальных коэффициентов. Каждая строка Треугольника
Паскаля соответствует коэффициентам биномиального разложения \((a+b)^n \) для возрастающих значений
\(n\). Треугольник начинается с первой строки, \(n=0\), и строится следующим образом: $$
\begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & &
2 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\ & 1 & & 5 & &
10 & & 10 & & 5 & & 1 \\ \end{array} $$ Каждый элемент в Треугольнике Паскаля получается путем сложения
двух чисел по диагонали над ним. Например, элемент со значением 6 в четвертой строке вычисляется путем
сложения двух значений над ним (3 и 3).
Используя Треугольник Паскаля, вы можете быстро определить
коэффициенты биномиального разложения, не вычисляя биномиальные коэффициенты напрямую.
Например,
разложение \( (a+b)^4 \) можно прочитать из пятой строки Треугольника Паскаля:
\( a^4 + 4a^3 b+6a^2
b^2 + 4ab^3 + b^4 \)
Биномиальную теорему также можно обобщить на отрицательные и нецелые
показатели с помощью концепции бесконечных рядов. Обобщенная биномиальная теорема Ньютона утверждает,
что для любого действительного числа \(r\) и любых комплексных чисел \(a\) и \(b\) с \( |b| < |a| \) $$
(a+b)^r=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{r}{k} b^k a^{r-k} $$
где обобщенный биномиальный коэффициент
определяется как: $$ \binom{r}{k} = \frac{r!}{k!(r-k)!} $$ или $$ \binom{r}{k} =
\frac{r(r-1)(r-2)⋯(r-k+1)}{k!} $$
Обобщенные биномиальные коэффициенты используются для вычисления коэффициентов степенного ряда
разложения (a+b)^r. Эта обобщенная теорема имеет многочисленные применения в исчислении, такие как
нахождение рядов Тейлора функций и решение дифференциальных уравнений.
В теории вероятностей
биномиальная теорема имеет применение в вычислении вероятностей для случайных величин, распределенных
биномиально. Биномиальная случайная величина представляет собой количество успехов в фиксированном
количестве бернуллиевских испытаний, где каждое испытание имеет только два возможных исхода (успех или
неудача) и постоянную вероятность успеха.
Функция массы вероятности биномиальной случайной
величины \(X\) задается формулой:
\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
где \(n\) -
количество испытаний, \(k\) - количество успехов, а \(p\) - вероятность успеха на каждом испытании. Эта
формула напрямую использует биномиальную теорему для вычисления вероятности конкретного исхода.