Введение в комплексные числа
Комплексные числа представляют собой фундаментальное расширение действительных чисел, позволяя выполнять математические операции за пределами действительной числовой системы. Обозначаемая как ℂ, система комплексных чисел находит широкое применение в математике, инженерии и физике.
Основное определение
Комплексное число имеет вид \(a + bi\) , где:
- \(a\) : действительная часть
- \(b\) : мнимая часть
- \(i\) : мнимая единица, где \(i^2 = -1\)
Основные операции с комплексными числами
Сложение и вычитание
Сложение: \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
Вычитание: \((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)
Умножение и деление
Умножение: \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)
Деление: \(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)
Свойства и формы
Комплексное сопряжение
Для комплексного числа \(z=a+bi\) его сопряжённое число:
\(\overline{z}=a-bi\)
Модуль и аргумент
Модуль: \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Аргумент: \(\arg(z)=\arctan(\frac{b}{a})\)
Альтернативные представления
Полярная форма
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Показательная форма
\(z=re^{i\theta}\)
Степени и корни комплексных чисел
Степени комплексных чисел
Для комплексного числа в показательной форме \(z=re^{i\theta}\) :
\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)
где n — положительное целое число
Корни комплексных чисел
n -й корень комплексного числа имеет n различных значений:
\(w_k=r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}}\)
где \(k = 0,1,2,\ldots,n-1\)
Основные свойства
- Каждое комплексное число (кроме 0) имеет ровно n различных n -х корней
- Корни образуют правильный многоугольник на комплексной плоскости
- Каждый последующий корень получается при повороте на угол \(\frac{2\pi}{n}\)
Продвинутые приложения
Теорема Муавра
\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\)
Основы комплексного анализа
Уравнения Коши-Римана
Для комплексной функции \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\):
\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\) и \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)