Комплексные числа являются расширением действительных чисел, позволяя оперировать величинами, которые не могут быть представлены только действительными числами. Комплексные числа используются в различных областях математики, инженерии и физики для решения задач, которые невозможно решить с помощью только действительных чисел.
Комплексное число - это число, которое может быть выражено в форме \(a+bi \), где \(a\) и \(b\) являются действительными числами, а \(i\) - мнимая единица с свойством \(i^2=-1 \). В этом выражении \(a\) называется действительной частью комплексного числа, а \(b\) - мнимой частью.
Математически, множество комплексных чисел обозначается как \(∁\), и может быть визуализировано как двумерная плоскость, называемая комплексной плоскостью (или плоскостью Арганда), с действительной частью на горизонтальной оси и мнимой частью на вертикальной оси.
1. Арифметические операции:
Сложение и вычитание комплексных чисел выполняются поэлементно:
Сложение:
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \)
Вычитание:
\((a+bi)–(c+di)=(a–c)+(b–d)i \)
Умножение и деление комплексных чисел требуют больше манипуляций:
Умножение:
\( (a+bi) \cdot (c+di)=(ac–bd)+(ad+bc)i \)
Деление:
\( \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi) (c-di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2 + d^2} \)
2. Комплексно сопряженное:
Комплексно сопряженное комплексного числа \( a + bi\) определяется как \( a – bi\). Обозначается как \( \overline{a+bi} \). Сопряженное число обладает свойством, что при умножении на исходное комплексное число дает в результате вещественное число:
\( (a+bi)(a–bi)= a^2 + b^2 \).
3. Модуль и аргумент:
Модуль (или абсолютное значение) комплексного числа \(a+bi \) - это расстояние от начала координат до точки в комплексной плоскости, и рассчитывается как \( |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Аргумент (или угол) комплексного числа - это угол между положительной вещественной осью и линией, соединяющей начало координат с точкой в комплексной плоскости, обычно измеряемый в радианах. Обозначается как \( \arg (a+bi)= \theta \), и может быть вычислен с использованием функции арктангенса: \( \theta = \arctan (\frac{b}{a}) \) (учитывая квадрант, в котором находится комплексное число).
4. Полярная и экспоненциальная формы:
Комплексное число также может быть представлено в полярной форме, как \( a+bi = r( \cos \theta +i\ \sin \theta) \), где \( r=|a+bi| \) и \( \theta = \arg (a+bi) \). Это можно далее упростить, используя формулу Эйлера, \( e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \), получив экспоненциальную форму: \( a+bi = re^{i \theta } \).
5. Степени и корни комплексных чисел:
Используя экспоненциальную форму комплексного числа, легко вычислить его степени и корни.
Пусть \(z=re^{i \theta } \) - комплексное число, тогда:
Степени:
\( z^n = (re^{i \theta } )^n = r^n e^{ in \theta } \), где \(n\) - положительное целое число.
Корни:
\(n\)-й корень из \(z\) задается формулой
\(w_k = r^{ \frac{1}{n} }\ e^{ \frac{i( \theta + 2 k \pi ) }{n} } \), для \( k = 0,1,2,…,n-1 \).
Эта формула дает \(n\) различных корней.
6. Теорема Де Муавра:
Теорема Де Муавра - это мощный результат, который связывает степени комплексных чисел с тригонометрическими функциями. Для любого комплексного числа в полярной форме, \( z = r( \cos \theta +i \sin \theta ) \), и положительного целого числа \(n\), теорема Де Муавра утверждает:
\( ( \cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n \theta + i \sin n \theta \)
7. Комплексные функции:
Комплексные функции - это функции, которые принимают комплексные числа в качестве входных данных и производят комплексные числа в качестве выходных данных. Они могут быть записаны как
\( f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y) \), где \( u(x,y) \) и \( v(x,y) \) являются вещественными функциями двух вещественных переменных, представляющими действительную и мнимую части функции соответственно.
8. Комплексный анализ:
Комплексный анализ - это раздел математики, изучающий комплексные функции и их свойства, такие как дифференцируемость, аналитичность и интегрируемость. Некоторые важные результаты в комплексном анализе:
Уравнения Коши-Римана: Необходимое (но не достаточное) условие для дифференцируемости комплексной функции в точке заключается в том, что ее действительная и мнимая части удовлетворяют уравнениям Коши-Римана:
\( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) и \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \).
Аналитические функции: Функции, которые дифференцируемы в окрестности точки, называются аналитическими функциями. Аналитические функции обладают множеством желательных свойств, таких как бесконечная дифференцируемость и возможность представления в виде сходящегося степенного ряда.
Теорема о вычетах и формула Коши для вычетов: Эти теоремы касаются интегрирования комплексных функций вдоль замкнутых контуров и предоставляют мощные инструменты для вычисления комплексных интегралов и вывода важных результатов в комплексном анализе.