Квадратный корень.
Вещественные числа (Действительное число)

Квадратный корень ☰

Число, квадрат которого равен \(a\), называется квадратным корнем из \(a\).

• Квадратный корень из положительного числа \(a\) обозначается как \(\sqrt{x}\)
• Квадратный корень из отрицательного числа не определен в вещественной системе чисел. Он обозначается как \(\sqrt{-a}\)
• Умножительное свойство: Квадратный корень из произведения двух чисел равен произведению их квадратных корней.
  Математически \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\) .
• Квадратный корень от частного равен отношению квадратных корней числителя и знаменателя:
  \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
• Единственное число, квадрат которого равен нулю, это "0". То есть, квадратный корень из нуля равен нулю.
  \(\sqrt{0}=0\)
• Квадратный корень из степени равен степени квадратного корня: \(\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}\)

Вещественные числа (Действительное число) ☰

Вещественные числа - это тип чисел, используемых в математике, который включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Они обозначаются символом "\(R\)" и используются для представления величин, которые можно измерить, пересчитать или вычислить.
Рациональные числа - это числа, которые могут быть выражены в виде отношения двух целых чисел, таких как \(\frac{2}{3}\) или \(-\frac{4}{7}\). Иррациональные числа, с другой стороны, - это числа, которые не могут быть выражены в виде отношения двух целых чисел и имеют бесконечное количество неповторяющихся десятичных знаков, такие как число пи (\(\pi\)) или квадратный корень из (\(\sqrt{2}\)).
Вместе рациональные и иррациональные числа составляют множество вещественных чисел. Вещественные числа обычно представляются на числовой прямой, которая является горизонтальной линией с нулевой точкой в центре, и отрицательные числа слева, а положительные числа справа.
Вещественные числа используются в различных математических концепциях, таких как алгебра, исчисление и геометрия, и являются неотъемлемыми во многих научных и инженерных приложениях. Они также используются в повседневной жизни, например, в измерениях расстояний, времени, температуры и веса.

Свойства вещественных чисел.

• Свойство замыкания: Сумма или произведение любых двух вещественных чисел всегда является вещественным числом.
• Коммутативное свойство: Порядок слагаемых не влияет на сумму или произведение двух вещественных чисел. То есть, \(a+b=b+a\) и \(ab=ba\) для любых вещественных чисел \(a\) и \(b\)
• Ассоциативное свойство: Группировка слагаемых не влияет на сумму или произведение трех или более вещественных чисел.
  То есть, \((a+b)+c=a+(b+c)\) и \((ab)c=a(bc)\) для любых вещественных чисел \(a\), \(b\) и \(c\).
• Распределительное свойство: Умножение распределяется относительно сложения. То есть, \(a(b+c)=ab+ac\) и \((a+b)c=ac+bc\) для любых вещественных чисел \(a\), \(b\) и \(c\).
• Элемент единицы: Сумма вещественного числа и 0 является тем же вещественным числом. То есть, \(a+0=a\) для любого вещественного числа \(a\). Произведение вещественного числа и 1 является тем же вещественным числом. То есть, \(a \cdot 1 = a \) для любого вещественного числа \(a\)
• Обратный элемент: Сумма вещественного числа и его аддитивного обратного (противоположного) равна 0. То есть, \(a+(-a)=0\) для любого вещественного числа \(a\). Произведение ненулевого вещественного числа и его мультипликативного обратного (обратного) равно 1. То есть, \(\frac{a\cdot1}{a}=1\) для любого ненулевого вещественного числа \(a\).
• Транзитивное свойство: Если \(a < b\) и \(b < c\), то \(a < c\) для любых вещественных чисел \(a\), \(b\) и \(c\).
• Свойство трехчленности: Для любых двух различных вещественных чисел \(a\) и \(b\) справедливо ровно одно из следующих утверждений: \(a < b \), \(a=b\) или \(a> b \).
• Свойство Архимеда: Для любых двух положительных вещественных чисел \(a\) и \(b\) существует натуральное число \(n\) такое, что \( na > b \)

Рациональные числа ☰

В математике рациональное число - это число, которое может быть выражено в виде отношения двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. Другими словами, рациональное число - это дробь, где числитель и знаменатель оба являются целыми числами.
Например: \(\frac{2}{3}\), \(\frac{5}{8}\) и \(-\frac{7}{11}\) - все они являются рациональными числами. Однако числа, такие как \(\sqrt{2}\) или \(\pi\) (пи), не являются рациональными, потому что их нельзя выразить в виде отношения двух целых чисел.
У рациональных чисел есть несколько важных свойств, включая замыкание при сложении, вычитании, умножении и делении. Это означает, что если вы сложите, вычтете, умножите или разделите два рациональных числа, результат также будет рациональным числом.
Рациональные числа также имеют десятичное разложение, которое может быть как конечным, так и повторяющимся. Например, \(\frac{2}{5}\) можно записать в виде десятичной дроби \(0.4\), и \(\frac{1}{3}\) можно записать в виде повторяющейся десятичной дроби \(0.333...\). Десятичное разложение рационального числа можно получить, разделив числитель на знаменатель.
Кроме того, множество рациональных чисел плотно на вещественной числовой прямой, что означает, что между любыми двумя различными рациональными числами существует еще одно рациональное число. Это свойство полезно для приближения вещественных чисел рациональными числами.

Иррациональные числа ☰

В математике иррациональное число - это вещественное число, которое не может быть выражено в виде отношения двух целых чисел или как повторяющаяся или конечная десятичная дробь. Иррациональные числа - это бесконечные неповторяющиеся десятичные числа, которые не могут быть точно выражены в виде дроби.
Например, число пи \( ( \pi ) \), квадратный корень из 2 \( ( \sqrt{2} ) \) и \(e\) (основание натурального логарифма) - все они являются примерами иррациональных чисел. В отличие от рациональных чисел, у которых есть конечное или повторяющееся десятичное представление, иррациональные числа имеют бесконечное, неповторяющееся десятичное разложение.
Десятичное представление иррационального числа может быть вычислено с любой желаемой точностью, но оно никогда не завершится или не повторится. Например, значение числа пи можно приблизить до любого желаемого числа десятичных знаков, но оно никогда не будет точно выражено в виде отношения двух целых чисел.
У иррациональных чисел есть некоторые важные свойства. Они замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, что означает, что если вы добавите, вычтете или умножите два иррациональных числа, результат также будет иррациональным. Однако, когда иррациональное число прибавляется к рациональному числу, результат всегда является иррациональным числом.
Множество иррациональных чисел, вместе с множеством рациональных чисел, образует множество вещественных чисел. Вещественные числа широко используются в исчислении, анализе и других разделах математики.

Целые числа ☰

В математике целые числа - это набор целых чисел, который включает в себя ноль, положительные целые числа \( (1,2,3,...) \) и отрицательные целые числа \( (-1,-2,-3,...) \). Целые числа обозначаются символом "\(Z\)" и представляются на числовой прямой как равномерно распределенные точки как в положительном, так и в отрицательном направлениях.

Натуральные числа ☰

В математике натуральные числа - это множество положительных целых чисел \( (1,2,3,...) \), которые используются для подсчета или маркировки объектов. Натуральные числа обозначаются символом "\(N\)" и являются подмножеством множества целых чисел.

Квадратичная функция ☰

Функция \(y=x^2\) - это функция второй степени, которая отображает каждое действительное число \(x\) на его квадрат, или произведение \(x\) на себя. Другими словами, значение \(y\) равно квадрату входного значения \(x\).
График этой функции - парабола, которая открывается вверх, и он симметричен относительно оси \(y\). Вершина параболы находится в начале координат \( (0,0) \), и при увеличении или уменьшении \(x\) от нуля, значение \(y\) также увеличивается.

Вот некоторые свойства функции \(y=x^2\):

• Область определения: Область определения функции - все действительные числа, так как любое действительное число можно возвести в квадрат.
• Область значений: Область значений функции - все неотрицательные действительные числа, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
• Нули: Функция имеет только один ноль при \(x=0\), так как квадрат любого ненулевого числа положителен.
• Симметрия: Функция симметрична относительно оси \(y\), что означает, что замена \(x\) на \(-x\) в уравнении \( y=x^2 \) не изменяет значение \(y\).
• Вогнутость: Функция вогнута вверх, что означает, что скорость изменения функции увеличивается при движении \(x\) от нуля в любом направлении.
• Вторая производная: Вторая производная функции является постоянной и равна 2, что положительно, что указывает на то, что функция вогнута вверх и имеет минимум в вершине.
• Форма вершины: \( y=(x-h)^2 + k \). Это альтернативная форма для \( y=x^2 \), которая может быть полезна при построении графика функции или нахождении ключевых характеристик. В этой форме координаты вершины - \( (h,k) \). Для функции \( y=x^2 \) вершина находится в \( (0,0) \), поэтому форма вершины будет \( y=(x–0)^2 +0 \), что упрощается до \(y=x^2 \).
• Форма в разложении на множители: \( y=(x-a)(x+a) \). Это способ разложения функции \( y=x^2 \) на два бинома. В этой форме \(x\)-пересечения параболы находятся в \( (a,0) \) и \( (-a,0) \). Для функции \( y=x^2 \) форма в разложении на множители будет \( y=(x-0)(x+0) \), что упрощается до \( y=x^2 \) .

Функция \(y = \sqrt{x} \)

Функция \(y = \sqrt{x}\) - это функция квадратного корня, которая отображает неотрицательные действительные числа на их квадратные корни. Другими словами, для любого неотрицательного значения \(x\), квадратный корень \(x\) (который всегда положителен) является значением \(y\).

Вот некоторые ключевые характеристики функции квадратного корня:

• Область определения: Область определения функции квадратного корня - это множество неотрицательных действительных чисел, или \( [0, +\infty) \). Это потому, что квадратный корень отрицательного числа не является действительным числом.
• Область значений: Область значений функции квадратного корня также является множеством неотрицательных действительных чисел, или \( [0, +\infty) \). Это потому, что квадратный корень неотрицательного числа всегда неотрицателен.
• График: График функции квадратного корня - это кривая, которая начинается в точке \( (0,0) \) и постепенно возрастает при увеличении \(x\). Кривая приближается к оси \(x\), но никогда не касается ее, так как квадратный корень из 0 равен 0, но функция не определена для отрицательных значений \(x\).
• Увеличение: Функция квадратного корня - это возрастающая функция, что означает, что при увеличении \(x\) увеличивается и \(y\).
  Некоторые примеры пар ввода-вывода для функции квадратного корня:
  
  • \(x=0, y=\sqrt{0}=0\)
  • \(x=1, y=\sqrt{1}=1\)
  • \(x=4, y=\sqrt{4}=2\)
  • \(x=9, y=\sqrt{9}=3\)

Показатели степени.

Показатели степени - это сокращенная запись для записи повторного умножения числа или выражения на само себя. Показатель степени - это небольшое число или символ, который записывается над и справа от базового числа или выражения. Показатель указывает, сколько раз база умножается на саму себя.
Основной формат записи показателя степени: \( a^n \)
Базовое число или выражение, возведенное в степень показателя.
Например, \(2\) возводится в степень \(3\) (записывается как \( 2^3 \) означает, что \(2\) умножается на себя три раза:
\(2^3=2\cdot 2\cdot 2=8.\)

Вот некоторые основные концепции и правила, связанные с показателями степени: \(a \neq 0, b \neq 0 \).

• Правило произведения: При умножении двух степеней с одной и той же базой, их показатели складываются: \(a^m \cdot a^n=a^{m+n}\)
• Правило частного: При делении двух степеней с одной и той же базой, их показатели вычитаются: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
• Правило степени степени: При возведении степени в другую степень их показатели умножаются: \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
• Правило отрицательной степени: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
• Правило нулевой степени: \(a^0=1\)
• Правило произведения степеней: Чтобы найти степень произведения, возведите в степень каждый множитель и умножьте:
  \( (ab)^n= a^n \cdot b^n \)
• Правило частного степеней: Чтобы найти степень частного, возведите числитель и знаменатель в степень и разделите:
  \( ( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n} \)

Показательные функции:

Показательная функция - это функция вида \( f(x) = a^x \), где \(a\) - положительная постоянная, называемая базой функции. Значение \(a\) определяет форму графика функции. Показательные функции растут или убывают с постоянной скоростью, которая определяется значением \(a\).

Научная нотация:

Научная нотация - это способ записи очень больших или очень маленьких чисел с использованием показателей. В научной нотации число записывается как десятичное число между \(1\) и \(10\), умноженное на степень \(10\). Например, число \( 3,000,000 \) может быть записано как \( 3 \cdot 10^6 \), а число \( 0.00005 \) - как \( 5 \cdot 10^{-5} \).
Показатели являются фундаментальным понятием в математике и имеют множество практических применений в таких областях, как наука, инженерия, финансы и информатика.