Предел ☰

Предел функции - это фундаментальное понятие в исчислении. Неформально говоря, он описывает значение, к которому приближается функция по мере приближения входного значения к определенной точке. Математически предел функции \(f(x)\) при \(x\), стремящемся к точке \(a\), обозначается как:
\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = L \)
Это означает, что по мере того, как \(x\) произвольно близок к \(a\), значения функции \(f(x)\) произвольно приближаются к \(L\).

Эпсилон-Дельта Определение Предела
Эпсилон-дельта определение - это формальное, строгое определение предела. Оно утверждает, что для каждого \( \epsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \), такое что если \( 0 < |x–a| < \epsilon \), тогда \( |f(x)–L| < \epsilon \). Это определение отражает идею того, что по мере того, как \(x\) произвольно близок к \(a\), значения функции \(f(x)\) произвольно приближаются к \(L\).

• Предел константной функции \(c\) равен самой константе: $$ \underset{x \to a}{\lim} c = c $$
• Предел линейной функции $$ f(x)=mx+b $$ равен $$ \underset{x \to a}{\lim} (mx + b) = ma + b $$
• Закон суммы/разности: $$ \underset{x \to a}{\lim} [f(x) \pm g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \pm \underset{x \to a}{\lim} g(x) $$
• Закон произведения: $$ \underset{x \to a}{\lim} [f(x) \cdot g(x)] = \underset{x \to a}{\lim} f(x) \cdot \underset{x \to a}{\lim} g(x) $$
• Закон частного: $$ \underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\underset{x \to a}{\lim} f(x)}{\underset{x \to a}{\lim} g(x)}, \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) \neq 0 $$

Односторонние пределы ☰

Односторонние пределы рассматривают поведение функции при приближении входного значения к точке только с одной стороны:

Левосторонний предел:
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = L_- \)

Правосторонний предел:
\( \underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = L_+ \)

Если левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны, то существует и общий предел, и
\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = L_- = L_+ \).

Пределы, включающие бесконечность ☰

Пределы, включающие бесконечность, могут описывать поведение функции при приближении входного или выходного значения к бесконечности. Два общих случая:

1. При приближении \(x\) к бесконечности:
\( \underset{x \to \infty}{\lim} f(x)\)

2. При приближении \(f(x)\) к бесконечности:
\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty \)


\( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{и} \quad \underset{x \to a}{\lim} g(x) = -\infty \)

\( \underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{и} \quad \underset{x \to a^+}{\lim} g(x) = -\infty \)

\( \underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty \quad \text{и} \quad \underset{x \to a^-}{\lim} g(x) = -\infty \)
Прямая \(x=a\) является вертикальной асимптотой функции \(f(x)\), если выполняется хотя бы одно из этих отношений.

\( \underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b \) или \( \underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b \).
Если эти пределы существуют, прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой функции \(f(x)\).

Непрерывность ☰

Функция непрерывна в точке \(a\), если выполнены следующие три условия:

1. \(f(a) \) определено,

2. \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) \) существует,

3. \( \underset{x \to a}{\lim} f(x) = f(a) \)


Если функция непрерывна в каждой точке своей области определения, то она называется непрерывной функцией. Непрерывность имеет несколько важных свойств и следствий, таких как:

• Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций являются непрерывными, при условии, что знаменатель не равен нулю.
• Многочлены и рациональные функции непрерывны в своих областях определения.
• Композиция непрерывных функций является непрерывной.
• Теорема о промежуточном значении утверждает, что если непрерывная функция \(f\) принимает значения \(f(a)\) и \(f(b)\) для некоторого интервала \([a,b] \), то она принимает каждое значение между \(f(a)\) и \(f(b)\) хотя бы один раз в интервале.

Пределы тригонометрических функций ☰

Тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс, также имеют пределы. Некоторые важные тригонометрические пределы включают:

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1 \)

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \)

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\tan x}{x} = 1 \)

Пределы экспоненциальных и логарифмических функций ☰

Экспоненциальные и логарифмические функции также имеют важные пределы. Некоторые замечательные пределы:

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) , где \(e\) - основание натурального логарифма.

\( \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \) , где \( \ln\) - натуральный логарифм.

Предел последовательности ☰

Последовательность - это упорядоченный список чисел, часто обозначаемый как \(a_n\). Предел последовательности при \(n\), стремящемся к бесконечности, определяется как:
\(\underset{n \to \infty }{\lim} a_n=a \)
Если члены последовательности становятся произвольно близкими к \(L\) при увеличении \(n\), то последовательность сходится к \(L\). В противном случае последовательность расходится.

Ряды Тейлора и Маклорена ☰

Ряды Тейлора и Маклорена представляют собой бесконечные ряды, представления функции вблизи определенной точки. Ряд Тейлора функции \(f(x)\) в точке \(a\) задается формулой:
\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \)

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора, где \(a=0\):
\( f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n \)

Производные и Интегралы ☰

Пределы являются основой производных и интегралов в исчислении. Производная функции \(f(x)\) в точке \(a\) представляет собой мгновенную скорость изменения функции в этой точке и задается пределом:
\( f'(a) = \underset{h \to 0}{\lim} \frac{f(h+a) - f(a)}{h} \)

Аналогично, интеграл функции вычисляет накопленное изменение или площадь под кривой и определяется с использованием пределов в форме интеграла Римана или более общего интеграла Лебега.