n-ный корень. Рациональные показатели.

Корень n-й степени ☰

Корень \(n\)-й степени числа может быть найден с использованием следующей формулы: \( \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \), где "\(a\)" - число, которое требуется извлечь, а "\(n\)" - степень корня.
Например, \( \sqrt[4]{81} \) можно найти, используя указанную выше формулу:
\( \sqrt[4]{81}=81^\frac{1}{4} \)
Мы можем упростить выражение выше, используя тот факт, что 81 равно 3 в четвертой степени:
\( \sqrt[4]{81}=(3^4)^\frac{1}{4}=3^{4\cdot \frac{1}{4}}=3^1=3 \)
Таким образом, четвертый корень из 81 равен 3.

Следует отметить, что некоторые корни \(n\)-й степени могут быть иррациональными, что означает, что их нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Например, квадратный корень из \(2 (\sqrt{2}) \) является иррациональным числом, потому что его нельзя записать в виде дроби.

Свойства корней \(n\)-й степени:

• Свойство произведения: Корень \(n\)-й степени произведения равен произведению корней \(n\)-й степени сомножителей. Для любых неотрицательных действительных чисел \(a\) и \(b\) и любого положительного целого числа \(n\), \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} \)
  Например, \( \sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6 \).
• Свойство частного: Корень \(n\)-й степени отношения равен отношению корней \(n\)-й степени числителя и знаменателя. Для любых неотрицательных действительных чисел \(a\) и \(b\), где \(b \neq 0 \), и любого положительного целого числа \(n\), \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
  Например, \( \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2} \)
• Свойство степени: Корень \(n\)-й степени степени равен степени корня \(n\)-й степени. Для любого неотрицательного действительного числа \(a\) и любых положительных целых чисел \(m\) и \(n\), \( \sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
  Например, \( \sqrt[3]{8^2}=8^\frac{2}{3}=4\)
• Свойство радиканда: Если \(n\) нечетное, то каждое неотрицательное действительное число имеет уникальный \(n\)-й корень. Если \(n\) четное, то \(n\)-й корень неотрицательного действительного числа определен только для неотрицательных радикандов.
  Например, \( \sqrt[3]{-8} = -2 \), но \( \sqrt{16} = 4 \) и \( \sqrt{-16} \) не определен среди действительных чисел.
• Возведение в степень: Возведение в степень корня \(n\)-й степени - это свойство, которое говорит нам, как возводить корень \(n\)-й степени в степень. Для любого положительного целого числа \(n\), любых неотрицательных действительных чисел \(a\) и \(b\), и любого целого числа \(m\), \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  Это свойство означает, что мы можем упростить выражения, такие как \( (\sqrt[3]{2})^2 \), сначала возводя корень \(n\)-й степени в степень, а затем извлекая корень \(n\)-й степени из результата: \( (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4} \)
  
  Мы также можем использовать это свойство для упрощения более сложных выражений, содержащих радикалы. Например, мы можем упростить выражение \( \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2} \) следующим образом: \( \small \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2}=\sqrt[3]{8\cdot 9\cdot 4}=\sqrt[3]{288} \)
• Корень из корня \(n\)-й степени: Корень из корня \(n\)-й степени - это нечасто используемое свойство или формула. Однако одна из интерпретаций этой фразы может быть следующей:
  Для любых положительных целых чисел \(m\) и \(n\) и любого неотрицательного действительного числа \(a\) у нас есть: \( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a} \)
  Это свойство говорит нам, что извлечение \(m\)-го корня из \(n\)-го корня неотрицательного действительного числа \(a\) эквивалентно извлечению \(mn\)-го корня из \(a\). Например, у нас есть: \( \sqrt[2]{ \sqrt[3]{8} }=\sqrt[2\cdot 3]{2^3}=\sqrt{2} \)
  
  Обратите внимание, что это свойство справедливо только при \(a\) неотрицательном, поскольку \(n\)-й корень отрицательного числа не определен для четных значений \(n\). Кроме того, хотя это свойство может быть полезным для упрощения некоторых выражений, содержащих радикалы, оно не так широко применимо, как некоторые другие свойства и формулы, обсуждаемые ранее.

Эти свойства и формулы корня \(n\)-й степени полезны для упрощения и решения задач, связанных с радикалами.

Рациональные показатели степени ☰

Рациональные показатели степени, также известные как дробные показатели степени, представляют способ представления степеней и корней числа более общим и гибким способом, чем использование только целых показателей степени. Рациональный показатель степени - это число, которое может быть выражено в виде дроби, где числитель представляет степень, в которую возводится основание, а знаменатель представляет корень, который берется.

Например, пусть \(a\) - положительное действительное число, а \(m\) и \(n\) - положительные целые числа. Тогда следующие примеры рациональных показателей степени:

\( a^\frac{1}{2}=\sqrt{a} \)

\( a^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{a^2} \)

\( a^\frac{3}{4}=\sqrt[4]{a^3} \)

\( a^\frac{5}{2}=\sqrt{a^5} \)

В общем случае рациональный показатель степени определяется следующим образом: \( a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} \), где \(a\) - положительное действительное число, \(m\) - целое число, а \(n\) - положительное целое число.

Свойства показателей степени:

• Правило произведения: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
  Это свойство говорит нам, что когда мы умножаем два числа с одинаковым основанием, мы можем сложить их показатели степени, чтобы получить показатель степени произведения.
  Например, \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128 \)
• Правило частного: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
  Это свойство говорит нам, что когда мы делим два числа с одинаковым основанием, мы можем вычесть их показатели степени, чтобы получить показатель степени частного.
  Например, \(\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3}=625 \)
• Правило степени: \( (a^m )^n=a^{m\cdot n} \)
  Это свойство говорит нам, что когда мы возводим число в степень, а затем возводим результат в другую степень, мы можем умножить показатели степени, чтобы получить показатель степени конечного результата.
  Например, \( (2^3 )^4=2^{3\cdot 4}=2^12=4096 \)
• Правило отрицательного показателя: \( a^{-n}=\frac{1}{a^n} \)
  Это свойство говорит нам, что когда у нас есть отрицательный показатель степени, мы можем обратить основание и сделать показатель положительным.
  Например, \( 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} \)
• Правило нулевого показателя: \( a^0=1\)
  Это свойство говорит нам, что любое число, возведенное в степень ноль, равно единице.
  Например, \( 2^0=1 \)
• Правило дробного показателя: \(a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m} \)
  Это свойство говорит нам, что когда у нас есть дробный показатель степени, мы можем взять корень степени \(n\) из основания, возведенного в степень числителя дроби.
  Например, \(2^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \)
• Правило произведения степеней: \((ab)^n=a^n \cdot b^n \)
  Это свойство говорит нам, что когда мы возводим произведение двух чисел в степень, мы можем распределить степень каждому множителю.
  Например, \( (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4=16 \cdot 81=1296 \)
• Правило степени отношения: \( (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n} \)
  Это свойство говорит нам, что когда мы возводим отношение двух чисел в степень, мы можем распределить степень по числителю и знаменателю отдельно.
  Например, \( (\frac{3}{2})^4=\frac{3^4}{2^4} =\frac{81}{16} \)
• Правило отрицательного основания: \( (-a)^n=(-1)^n \cdot a^n \)
  Это свойство говорит нам, что когда мы возводим отрицательное число в четную степень, результат положителен, а если мы возводим его в нечетную степень, результат отрицателен.
  Например, \( (-2)^4=(-1)^4 \cdot 2^4=16 \) , а \( (-2)^3=(-1)^3 \cdot 2^3=-8 \)

Эти свойства показателей степени позволяют нам упрощать сложные выражения и выполнять операции с ними более легко. Они важны не только в алгебре, но и во многих других областях математики и науки.