Окружность

Центральный угол. Дуга окружности.☰

Окружность - это множество точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром. Окружность является важной фигурой в математике и используется во многих областях, включая геометрию, тригонометрию и математический анализ.
Центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности. Он образуется двумя радиусами окружности, соединяющими центр с двумя точками на окружности. Другими словами, центральный угол - это угол, вершина которого находится в центре окружности, а его стороны пересекают две точки на окружности.
Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке O, и пусть A и B - две точки на окружности. Центральный угол \( \angle AOB \) - это угол, образованный двумя радиусами окружности, пересекающими точки A и B в точках O, A и B.
Измерение центрального угла \(^1\) определяется углом, который он образует на окружности, и равно отношению длины образованной дуги к радиусу окружности. Мы можем выразить это математически следующим образом: $$ \small \text{Измерение центрального угла } \angle AOB =\frac{ \text{Длина образованной дуги AB}}{ \text{Радиус окружности}} $$

Мы также можем выразить эту формулу в терминах меры угла центрального угла. Поскольку длина окружности равна \( 2 \pi r \), где \( r \) - радиус окружности, а в полном круге 360 градусов, у нас есть: $$ \text{Длина образованной дуги AB } = \frac{\theta}{360^\circ} (2 \pi r) $$ здесь \( \theta \) - это мера угла центрального угла в градусах. Подставив это в формулу для измерения центрального угла, мы получаем: $$ \small \text{Мера центрального угла} \angle AOB = \frac{\theta}{360^\circ}(2r) = \frac{\theta}{180^\circ} r $$

Эта формула особенно полезна, когда нам известен радиус окружности и угловая мера центрального угла, и мы хотим найти длину образованной дуги или меру угла, которая описывает дугу.

Мера центрального угла равна мере дуги, которую он образует. Это соотношение можно математически выразить как: \( \theta = \frac{s}{r} \), где \( \theta \) - мера центрального угла в радианах, \( s \) - длина дуги, образованной углом, а \( r \) - радиус окружности.
Например, если радиус окружности \( r = 5 \), а дуга длиной \( s = 3 \) образует центральный угол, то меру угла можно найти с помощью формулы: $$ \theta = \frac{s}{r} = \frac{3}{5} $$ Таким образом, мера центрального угла составляет \( \theta = 0.6 \) радиан.

Дуга окружности - это часть окружности. Она определяется двумя конечными точками на окружности и является кратчайшим путем между ними. Длину дуги можно найти с помощью формулы: \( s = r \theta \), где \( s \) - длина дуги, \( r \) - радиус окружности, а \( \theta \) - мера центрального угла в радианах.
Например, если радиус окружности \( r = 2 \), а центральный угол образует дугу длиной \( s = 3 \), то меру угла можно найти с помощью формулы: \( \theta = \frac{s}{r} = \frac{3}{2} \)
Таким образом, мера центрального угла составляет \( \theta = 1.5 \) радиан, а длина дуги равна: \( s = r \theta = 2 \cdot 1.5 = 3 \)
Таким образом, дуга имеет длину 3 единицы.

Рассмотрим окружность с центром \( O \) и радиусом \( r \). Предположим, что у нас есть две точки \( A \) и \( B \) на окружности такие, что \( A \) и \( B \) не являются диаметрально противоположными точками (то есть они не лежат на линии, проходящей через центр окружности). Дуга окружности, образованная этими двумя точками, - это часть окружности, которая лежит между \( A \) и \( B \), включая сами \( A \) и \( B \).
Длина дуги окружности задается формулой: $$ \text{Длина дуги } AB = \frac{\theta}{360^\circ} (2 \pi r) $$ где \( \theta \) - это угловая мера центрального угла, образующего дугу AB. Эта формула вытекает из того факта, что отношение длины дуги к длине окружности окружности равно отношению угла, который образует дугу, к полному углу окружности (который составляет 360 градусов).
Также мы можем переупорядочить формулу, чтобы найти угловую меру центрального угла, образующего дугу длиной \( s \) на окружности с радиусом \( r \): $$ \text{Угловая мера центрального угла} = \frac{s}{r} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} $$

Кроме длины, дуги окружностей также могут быть измерены в терминах их угловой меры, которая представляет собой угловую меру центрального угла, который описывает дугу. Если нам известен радиус окружности и угловая мера центрального угла, образующего дугу, мы можем найти длину дуги, используя вышеуказанную формулу.
Важно отметить, что на окружности существует два типа дуг: малые дуги и большие дуги. Малая дуга - это дуга, у которой угловая мера меньше 180 градусов, тогда как большая дуга - это дуга, у которой угловая мера больше 180 градусов. Полукруг - это особый случай большой дуги, у которой угловая мера равна 180 градусам.

Хорда окружности☰

Хорда окружности - это прямолинейный отрезок, соединяющий две точки на окружности. Концы хорды называются концами хорды.
Длина хорды окружности задается формулой \(^1\): $$ \text{Длина хорды } AB = 2r \sin(\frac{\theta}{2}) $$ где \(r\) - радиус окружности, \(AB\) - длина хорды, а \( \theta \) - угловая мера центрального угла, описывающего хорду. Эта формула может быть выведена с использованием Закона синусов, который утверждает, что в любом треугольнике \(ABC\) отношение синуса угла к длине противоположной стороны постоянно: $$ \frac{\sin \angle A}{AB} = \frac{\sin \angle B}{BC} = \frac{\sin \angle C}{AC} $$ Если мы пусть \( \angle A \) будет центральным углом, описывающим хорду \(AB\), то \( \angle A \) также будет углом, противоположным стороне \(AB\) в треугольнике \(AOB\), где \(O\) - центр окружности, а \(A\) и \(B\) - точки на окружности. Следовательно, мы можем написать: $$ \frac{\sin(\frac{\theta }{2})}{r} = \frac{\sin(\frac{AB}{2r})}{1} $$ Решая для \(AB\), мы получаем: \(AB = 2r \sin(\frac{\theta }{2} ) \)

Еще одна формула для нахождения длины хорды окружности заключается в использовании перпендикулярного расстояния от центра окружности до хорды. Пусть хорда будет \(AB\), а центр окружности - \(O\). Пусть перпендикулярное расстояние от \(O\) до \(AB\) будет \(h\), а длина хорды - \(AB\). Тогда длина хорды задается формулой: $$ \text{Длина хорды }AB=2 \sqrt{r^2-h^2} $$ где \(r\) - радиус окружности.

Эта формула позволяет нам найти длину хорды окружности, если мы знаем радиус окружности и перпендикулярное расстояние от центра окружности до хорды. Наоборот, если нам известна длина хорды и радиус окружности, мы можем использовать эту формулу для нахождения перпендикулярного расстояния от центра окружности до хорды: $$ h = \sqrt{r^2 - (\frac{AB}{2})^2 } $$ Существует несколько теорем, связанных с хордами окружностей:

• Перпендикулярная биссектриса хорды проходит через центр окружности. Это означает, что если мы проведем линию, перпендикулярную хорде и проходящую через середину хорды, то эта линия пройдет через центр окружности.
• Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Эта теорема известна как теорема о пересекающихся хордах. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке E, то: \(AE \cdot EB = CE \cdot ED \)
• Если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то диаметр делит хорду и ее дугу пополам. Эта теорема известна как теорема о перпендикулярной биссектрисе хорды. Если диаметр окружности перпендикулярен хорде AB, то диаметр делит AB пополам в его середине M, а дуга окружности, пересеченная хордой AB, также делится пополам диаметром.
• Если две хорды окружности равны по длине, то они равноудалены от центра окружности. Эта теорема известна как теорема о хордах, равноудаленных от центра. Если хорды AB и CD равны по длине, и O - центр окружности, то \(OA=OB=OC=OD\)

Угол, подразумеваемый внутри окружности☰

Угол, подразумеваемый внутри окружности, образуется двумя пересекающимися хордами, двумя пересекающимися секущими или хордой и касательной, где вершина угла находится на окружности. Размер угла определяется положением его вершины относительно центра окружности и длиной хорд или секущих, вовлеченных в него.
Угол, подразумеваемый дугой, определяется как угол, образованный двумя радиусами, которые пересекают концы дуги. Этот угол также называется центральным углом, и его мера равна мере дуги, которую он подразумевает. Иными словами, если дуга \(AB\) имеет меру \(m\) градусов, то центральный угол, образованный радиусами \(OA\) и \(OB\), также имеет меру \(m\) градусов.
Еще один тип угла, подразумеваемого внутри окружности, - это вписанный угол. Вписанный угол образуется двумя хордами, которые пересекаются на окружности. Мера вписанного угла составляет половину меры дуги, которую он подразумевает. Иными словами, если дуга \(AB\) имеет меру \(m\) градусов, то вписанный угол, образованный хордами \(AC\) и \(BC\), имеет меру \( \frac{m}{2} \) градусов.
Теорема, связанная с вписанными углами, - это теорема о вписанных углах, которая утверждает, что если угол внутри окружности подразумевается хордой, то угол составляет половину меры дуги, которую он подразумевает. Конкретно, если хорда \(AB\) подразумевает дугу \(CD\), а угол \(AOC\) - вписанный угол, то: $$ \angle AOC =\frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \text{ дуга } CD $$ где \( \text{ дуга } CD \) - мера \( \text{ дуга } CD\).

Еще одна теорема, связанная с углами, подразумеваемыми внутри окружности, - это теорема об угле, образованном касательной и хордой. Эта теорема утверждает, что мера угла, образованного касательной и хордой, равна половине меры перехваченной дуги. Конкретно, если хорда \(AB\) пересекается касательной \(PQ\) в точке \(P\), и если дуга \(ACB\) - перехваченная дуга, то: $$ \angle APB =\frac{1}{2} \text{ дуга } ACB $$ где \( \text{ дуга } ACB \) - мера \( \text{ дуга } ACB\).

Эти теоремы могут использоваться для решения задач, связанных с углами, подразумеваемыми внутри окружности. Например, зная длину хорды и радиус окружности, мы можем использовать формулу длины хорды и теорему о вписанных углах для определения меры вписанного угла или меры перехваченной дуги. Аналогично, зная длину касательной и радиус окружности, мы можем использовать теорему Пифагора и теорему об угле, образованном касательной и хордой, для определения длины хорды или меры перехваченной дуги.

Касательная окружности☰

Касательная окружности - это прямая линия, которая пересекает окружность ровно в одной точке, называемой точкой касания. Касательная линия перпендикулярна радиусу, который пересекает точку касания. Касательные линии играют важную роль в геометрии и имеют несколько важных свойств и теорем, связанных с ними.
Одна из важных теорем, связанных с касательными окружности, - теорема касательной-хорды, которая утверждает, что когда касательная и хорда пересекаются в точке на окружности, мера угла, образованного касательной и хордой, равна половине меры перехваченной дуги. Конкретно, если касательная линия пересекает хорду в точке \(P\), а дуга \(ACB\) - перехваченная дуга, то: $$ \angle APB = \frac{1}{2} \text{ дуга } ACB $$ где \( \text{ дуга } ACB \) - мера \( \text{ дуга } ACB\).

Еще одна важная теорема, связанная с касательными окружности, - теорема секущей-касательной, которая утверждает, что когда секущая и касательная пересекаются в точке вне окружности, произведение длин секущей и ее внешнего отрезка равно квадрату длины касательной. Конкретно, если секущая AB пересекает касательную линию в точке \(P\), и если длина касательной линии от \(P\) до точки касания равна \(x\), то:
\( PA^2 = PB \cdot PC \), где \(PB\) - длина секущей линии от \(P\) до точки \(B\), а \(PC\) - длина внешнего отрезка секущей.
Длина касательной от точки вне окружности до точки касания может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. Конкретно, если расстояние от точки до центра окружности равно \(r\), а расстояние от точки до точки касания равно \(x\), то: $$ x^2 = r^2 - d^2 $$ где \(d\) - расстояние от точки до центра окружности.

Касательные также имеют важные применения в математическом анализе, где они используются для определения производной функции в точке. Производная функции в точке - это уклон касательной линии к графику функции в этой точке. Этот концепт используется во многих областях математики и науки, включая физику, инженерное дело, экономику и многое другое.

Секущая окружности☰

Секущая окружности - это прямая линия, которая пересекает окружность в двух различных точках. Секущая линия отличается от касательной линии, которая пересекает окружность только в одной точке.

Одна из важных теорем, связанных с секущими окружности, - теорема о пересекающихся секущих, которая утверждает, что когда две секущие линии пересекаются внутри окружности, произведение длин отрезков одной секущей равно произведению длин отрезков другой секущей. Конкретно, если секущие линии \(AB\) и \(CD\) пересекаются внутри окружности в точке \(P\), и если длины отрезков обозначены следующим образом: \( AP = a \)
\( PB = b \)
\( CP = c \)
\( PD = d \)
тогда: \( a \cdot b = c \cdot d \)

Еще одна важная теорема, связанная с секущими окружности, - теорема о секущей-касательной, которая утверждает, что когда секущая и касательная пересекаются в точке за пределами окружности, произведение длин секущей и ее внешнего отрезка равно квадрату длины касательной. Конкретно, если секущая линия \(AB\) пересекает касательную линию в точке \(P\), и если длина касательной линии от \(P\) до точки касания равна \(x\), то:
\( PA^2 = PB \cdot PC \) , где \(PB\) - длина секущей линии от \(P\) до точки \(B\), а \(PC\) - длина внешнего отрезка секущей.

Длину секущей линии также можно найти с использованием теоремы Пифагора. Конкретно, если расстояние от центра окружности до точки пересечения секущей и окружности равно \(r\), а длины отрезков секущей обозначены следующим образом:
\( AP = a \)
\( PB = b \)
то: \( (a+b)^2 = 4r^2 - (a-b)^2 \)

Угол между касательными и секущими ☰

Угол между касательной и секущей:
Когда касательная и секущая линии пересекаются за пределами окружности, угол между ними равен половине разности меры перехваченной дуги и 90 градусов. Другими словами, если касательная линия пересекает окружность в точке \(A\), а секущая линия пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\), причем \(B\) находится вне окружности, а \(C\) внутри, то угол между касательной линией и секущей линией в точке \(A\) задается следующим образом: \( \angle BAC= \frac{1}{2} ( \angle BOC - 90^\circ ) \), где \( \angle BOC\) - мера перехваченной дуги.

Угол между двумя касательными:
Когда две касательные линии проведены к окружности из внешней точки, угол между касательными линиями равен половине разности мер перехваченных дуг. Конкретно, если две касательные линии проведены к окружности в точках \(A\) и \(B\), а внешняя точка \(P\) соединена с центром окружности, то угол между касательными линиями во внешней точке \(P\) задается следующим образом: \( \angle APB = \frac{1}{2} ( \angle AOB - 90^\circ ) \), где \( \angle AOB \) - мера перехваченной дуги.

Угол между двумя секущими:
Когда две секущие линии проведены из внешней точки к окружности, угол между ними равен половине разности мер перехваченных дуг. Конкретно, если две секущие линии проведены из внешней точки \(P\) к окружности, пересекая окружность в точках \(A\),\(B\),\(C\) и \(D\), то угол между двумя секущими линиями во внешней точке \(P\) задается следующим образом: \( \angle APB = \frac{1}{2} ( \angle AOC - \angle BOD) \), где \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) - меры перехваченных дуг.

Эти формулы могут использоваться для вычисления углов между линиями, пересекающими окружности различными способами. Например, в геометрических задачах, связанных с окружностями, эти формулы могут использоваться для нахождения угла между касательной и секущей, или между двумя касательными, или между двумя секущими. Кроме того, формулы могут использоваться в исчислении для нахождения угла наклона касательных линий и скоростей изменения кривых.