Перестановка ☰

В математике перестановка - это переупорядочение набора объектов в определенном порядке. Перестановки используются для подсчета количества способов, которыми можно расположить набор объектов. Перестановка набора S - это биективное отображение \( \sigma \): \(S \rightarrow S \) . Другими словами, \( \sigma \) (сигма) - это функция, которая отображает каждый элемент в S на уникальный элемент в S, и каждый элемент в S отображается ровно один раз. Мы можем представить перестановку \( \sigma \) набора S, записав его значения в определенном порядке, например:
\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \)

Эта нотация означает, что \( \sigma(1) = 3 \), \( \sigma(2)=1 \), \( \sigma(3)=4 \) и \( \sigma(4)=2 \). Другими словами, первая строка представляет элементы S в их первоначальном порядке, а вторая строка представляет их порядок после применения перестановки \( \sigma \).
Количество перестановок набора S с \(n\) элементами обозначается \(n!\), что читается как "n факториал". Факториальная функция определяется как:
\( n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \ldots 2 \cdot 1 \)

Например, \(5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120 \), что означает, что существует 120 перестановок набора из 5 элементов.

Перестановки могут использоваться для решения различных задач подсчета. Например, предположим, у нас есть 5 разных книг, и мы хотим расположить их на полке. Количество способов разместить книги определяется числом перестановок набора из 5 элементов, которое равно \( 5!=120 \).

Еще один пример - количество способов выбрать комитет из 3 человек из группы из 10 человек. Количество способов выбрать комитет определяется числом перестановок набора из 10 элементов, взятых по 3, что обозначается как \(_{10} P_3 \) и вычисляется как:
\( _{10} P_3 =\frac{10!}{(10-3)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 =720 \)

В общем случае количество перестановок набора из \(n\) элементов, взятых \(r\) в каждый момент времени, обозначается как \(_n P_r\) и вычисляется как:
\( _n P_r= \frac{n!}{(n-r)!} \)

В заключение, перестановки являются основным понятием в комбинаторике и используются для подсчета количества способов, которыми можно расположить набор объектов. Количество перестановок набора из \(n\) элементов равно \(n!\), а количество перестановок \(r\) элементов, взятых из набора из \(n\) элементов, равно \(_n P_r\).

Комбинация ☰

В математике комбинация - это способ выбора элементов из более крупного набора без учета порядка, в котором они выбираются. Обозначается как \( _nC_k \), где \(n\) - количество элементов в наборе, а \(k\) - количество выбираемых элементов. Комбинация также известна как биномиальный коэффициент.
Формула для числа комбинаций задается следующим образом:
\( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \(n!\) обозначает факториал \(n\), который является произведением всех положительных целых чисел от 1 до \(n\), а \(0!\) определяется как 1. Обозначение \( {n \choose k} \) читается как "из \(n\) выбираем \(k\)".

Например, предположим, у нас есть набор из пяти чисел \({1,2,3,4,5}\). Мы хотим выбрать три числа из этого набора без учета порядка. Количество комбинаций размером 3, которые можно выбрать из этого набора, равно:
\( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \)
Следовательно, существует 10 способов выбрать три числа из набора \({1,2,3,4,5}\).
Комбинации полезны в различных математических и реальных ситуациях. Например, они могут использоваться для подсчета количества способов сформировать комитет определенного размера из группы людей, для расчета вероятностей определенных событий в теории вероятностей и для анализа исходов определенных игр в теории игр.

Важно отметить, что количество комбинаций всегда меньше или равно количеству перестановок, которые представляют собой способы выбора элементов из набора с учетом их порядка. Формула для перестановок задается следующим образом:
\(P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} \), где \(P(n,k)\) обозначает количество перестановок размером \(k\), которые можно выбрать из набора размером \(n\).

В заключение, комбинация - это способ выбора элементов из более крупного набора без учета порядка, и количество комбинаций задается формулой \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Комбинации полезны в различных математических и реальных ситуациях, и они связаны с перестановками, которые представляют собой способы выбора элементов из набора с учетом их порядка.