Рациональные выражения ☰

Рациональные выражения - это выражения, составленные из одного или нескольких полиномиальных членов, разделенных другим полиномиальным членом. Полином - это математическое выражение, состоящее из одной или нескольких переменных и коэффициентов, и составленное из степеней этих переменных. Например, \( 3x^2 –2x+1 \) является полиномиальным выражением относительно переменной \(x\).
Общая форма рационального выражения: \( \frac{p(x)}{q(x)} \)
где \( p(x) \) и \( q(x) \) - полиномы, и \( q(x) \) не равно нулю.

Некоторые примеры рациональных выражений:

• \( \frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4} \)
• \( \frac{4x^3- 6x^2+ 2x}{2x^2- 6x} \)
• \( \frac{x^2- 4}{x + 2} \)

Любой многоугольник может быть представлен в виде дроби с числителем, равным 1. Это означает, что многоугольники также являются рациональными выражениями.
Сумма, разность, произведение и частное рациональных выражений также являются рациональными выражениями. Рациональные выражения, которые представлены в виде дроби с переменной как в числителе, так и в знаменателе, называются рациональными алгебраическими выражениями.
Возможные значения переменных, которые придают выражению смысл, называются Область допустимых значений (ОДЗ). В случае дробных выражений с переменными выражение может быть бессмысленным для определенных значений переменной.

Например:
Выражение \( \frac{2x^2+ 5x - 1}{x^2- 4} \) не имеет смысла при \(x=2\).
Это потому, что при \(x=2\) дробь становится \(0\), и деление на ноль неопределено, что делает выражение бессмысленным.

Упрощение рациональных выражений ☰

Упрощение рациональных выражений заключается в сведении выражения к его простейшему виду путем факторизации числителя и знаменателя и сокращении любых общих множителей. Цель состоит в том, чтобы выразить выражение в форме, которая легче поддается обработке или лучше отражает исходное выражение.
Для упрощения рационального выражения первым шагом является факторизация как числителя, так и знаменателя. Факторизация заключается в разложении выражения на составные части, которые, при необходимости, можно дополнительно упростить. Этот процесс может быть выполнен путем нахождения общих множителей или с использованием методов, таких как факторизация по группам, разность квадратов или сумма или разность кубов.
После того как числитель и знаменатель факторизованы, следующим шагом является сокращение любых общих множителей, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе. Это эквивалентно делению как числителя, так и знаменателя на один и тот же множитель.

Когда два выражения равны для всех возможных значений переменных, их называют идентичными или эквивалентными выражениями.
Если мы умножаем или делим как числитель, так и знаменатель дроби на одно и то же ненулевое число, значение дроби остается неизменным.
То есть, когда \(b\neq0\) и \(c\neq0\), равенство \( \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc} \) истинно. Это свойство также справедливо для подобных рациональных выражений.

Например:
\( \frac{3}{x} \) и \( \frac{3x+3}{x^2+x} \) являются эквивалентными выражениями. Это потому, что если мы умножим как числитель, так и знаменатель \( \frac{3}{x} \) на \( (x+1) \), мы получим выражение \( \frac{3x+3}{x^2+x} \).

• Умножение на \( (x+1) \):
  
  \( \frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)}= \frac{3x+3}{x^2+x} \)
• Деление на \( (x+1) \):
  
  \( \frac{3x+3}{x^2+x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)} =\frac{3}{x} \)

Вот пример упрощения рационального выражения:
Упростите выражение \( \frac{6x^2 + 9x}{3x} \)

Шаг 1: Факторизуйте числитель и знаменатель.
\( \frac{6x^2+ 9x}{3x}= \frac{3x(2x+3)}{3x} \)

Шаг 2: Сократите любые общие множители.
\( \frac{3x(2x+3)}{3x}=2x+3 \)

Упрощенным выражением является: \(2x+3\).

Вот еще один пример:
Упростите выражение \( \frac{2x^2– 8x}{6x^2– 18x} \)

Шаг 1: Факторизуйте числитель и знаменатель.
\( \frac{2x^2– 8x}{6x^2– 18x}= \frac{2x(x-4)}{6x(x-3)} \)

Шаг 2: Сократите любые общие множители.
\( \frac{2x(x-4)}{6x(x-3)} = \frac{x-4}{3(x-3)} \)

Упрощенным выражением является \( \frac{x-4}{3(x-3)} \).

В некоторых случаях после факторизации числителя и знаменателя может быть невозможно сократить какие-либо общие множители. В этих случаях выражение уже находится в простейшем виде и не может быть упрощено дальше.
Упрощение рациональных выражений - это важное умение в алгебре и используется во многих областях математики и науки, таких как исчисление, физика и инженерия.

Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень рациональных выражений. ☰

Сложение и вычитание рациональных выражений:
Чтобы сложить или вычесть рациональные выражения, первый шаг - найти общий знаменатель. Это то же самое, что нахождение общего кратного знаменателей. Как только найден общий знаменатель, числители можно сложить или вычесть.

Например, чтобы сложить рациональные выражения \( \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1} \) , нам нужно найти общий знаменатель, который в этом случае равен \( x(x+1) \). Затем мы переписываем выражения с общим знаменателем:

\( \frac{2(x+1)+ 3x}{x(x+1)} =\frac{5x+2}{x(x+1)} \)

Аналогично, чтобы вычесть рациональные выражения \( \frac{2}{x}-\frac{3}{x+1} \) , мы находим общий знаменатель \( x(x+1) \) и переписываем выражения:

\( \frac{2(x+1)-3x}{x(x+1)} = -\frac{x-2}{x(x+1)}\)

Умножение рациональных выражений:
Чтобы умножить рациональные выражения, мы умножаем числители между собой и знаменатели между собой. Мы также должны упростить полученное выражение, если это возможно, сократив любые общие множители в числителе и знаменателе.

Например, чтобы умножить рациональные выражения \( \frac{2}{x}\cdot \frac{3}{x+1}\) , мы умножаем числители между собой и знаменатели между собой:

\( \frac{2\cdot3}{x\cdot (x+1)} =\frac{6}{x^2+x} \)

Деление рациональных выражений:
Чтобы разделить рациональные выражения, мы инвертируем второе выражение (знаменатель), затем умножаем первое выражение (числитель) на инвертированное второе выражение. Мы также должны упростить полученное выражение, если это возможно, сократив любые общие множители в числителе и знаменателе.

Например, чтобы разделить рациональные выражения \( \frac{(\frac{2}{x})}{(\frac{3}{x+1})} \) , мы инвертируем второе выражение и умножаем:

\( \frac{2}{x}\cdot \frac{x+1}{3}=\frac{2(x+1)}{3x} \)

Возведение в степень рациональных выражений:
Чтобы возвести рациональное выражение в степень, мы возводим числитель и знаменатель в степень отдельно. Мы также должны упростить полученное выражение, если это возможно, сократив любые общие множители в числителе и знаменателе.
Общее правило: \( (\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n} \)
Например, чтобы возвести рациональное выражение \(\frac{2}{x}\) в степень 3, мы возводим числитель и знаменатель в степень 3 отдельно:

\(\frac{2^3}{x^3} =\frac{8}{x^3}\)

Пример:
1. Выполнение операции сложения для \( \frac{3}{x}+\frac{5}{2x}\)

Шаг 1: Найдите общий знаменатель, который является наименьшим числом, на которое можно без остатка поделить оба знаменателя. В этом случае общий знаменатель равен \(2x\).
Шаг 2: Преобразуйте обе дроби, чтобы у них был общий знаменатель.
Шаг 3: Сложите дроби:
\( \frac{3}{x}+\frac{5}{2x}=\frac{3\cdot 2}{2x}+\frac{5}{2x}=\frac{11}{2x}\)

2. Вычитание рациональных выражений \( \frac{7}{x}–\frac{2}{x+1}\). Упростите свой ответ насколько это возможно.

Ответ: Найдите общий знаменатель. В этом случае общий знаменатель равен \(x(x+1)\), потому что это наименьшее общее кратное \(x\) и \(x+1\)
\( \small \frac{7}{x} - \frac{2}{x + 1} = \frac{7 \cdot (x + 1)}{x(x + 1)} - \frac{2x}{x(x + 1)} = \frac{7x + 7 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 7}{x(x + 1)}\)

3. Выполните умножение.

\(\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}\)

Решение:
\(\frac{2x}{x^2 + 2x} \cdot \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x}\) Сначала мы упрощаем оба рациональных выражения по отдельности.

Упрощая первое рациональное выражение, мы получаем:
\( \frac{2x}{x^2 + 2x} = \frac{2x}{x(x+2)} = \frac{2}{x+2} \)

Упрощая второе рациональное выражение, мы получаем:
\( \frac{3x^2 + 6x}{x^2 + 4x} = \frac{3x(x+2)}{x(x+4)} = \frac{3(x+2)}{(x+4)} \)

Теперь мы умножаем упрощенные рациональные выражения:
\( \frac{2}{x+2} \cdot \frac{3(x+2)}{(x+4)} = \frac{6(x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{x+4} \)

Обратная функция и её график ☰

Функция \(y=\frac{k}{x}\), где \(k\) - постоянная, является примером рациональной функции, также известной как обратная функция. Это математическое отношение, которое описывает, как изменяется выходное значение \(y\), когда изменяется входное значение \(x\).
В этой функции \(k\) - постоянное значение, которое не изменяется при изменении \(x\). При увеличении или уменьшении \(x\) значение \(y\) изменяется таким образом, который зависит от \(k\).
Когда \(x\) положительный, значение \(y\) также положительно, и при увеличении \(x\) значение \(y\) уменьшается. Это происходит потому, что при увеличении \(x\) знаменатель дроби, который равен \(x\), становится больше, что приводит к уменьшению значения дроби.
Напротив, при уменьшении \(x\) знаменатель уменьшается, что приводит к увеличению значения дроби. Следовательно, по мере приближения \(x\) к нулю, \(y\) приближается к бесконечности, и по мере приближения \(x\) к бесконечности, \(y\) приближается к нулю.
Функция имеет вертикальную асимптоту при \(x=0\), что означает, что значение \(y\) становится бесконечно большим или маленьким при приближении \(x\) к 0 с любой стороны. Кроме того, функция имеет горизонтальную асимптоту при \(y=0\), что означает, что при приближении \(x\) к бесконечности или минус бесконечности, значение \(y\) приближается к 0.

В итоге, функция \(y=\frac{k}{x}\) - это обратная функция, которая описывает, как изменяется выходное значение \(y\), когда изменяется входное значение \(x\). Её поведение определяется константой \(k\), и у неё есть вертикальная асимптота при \(x=0\) и горизонтальная асимптота при \(y=0\).

Он состоит из двух ветвей, одна в первом квадранте и одна в третьем квадранте, при этом ось \(y\) является вертикальной асимптотой, а ось \(x\) - горизонтальной асимптотой.
Форма гиперболы определяется значением \(k\). Если \(k\) положительное, то гипербола будет открываться вверх и вправо, а если \(k\) отрицательное, то гипербола будет открываться вниз и влево.
По мере приближения \(x\) к нулю с любой стороны функция стремится к положительной или отрицательной бесконечности в зависимости от знака \(k\). По мере приближения \(x\) к бесконечности или минус бесконечности функция стремится к нулю.

Вот пример графика \(y=\frac{1}{x}\):

Как видно из графика, он имеет две ветви, одну в первом квадранте и одну в третьем квадранте, причем ось \(y\) и ось \(x\) являются вертикальной и горизонтальной асимптотами соответственно. По мере приближения \(x\) к нулю функция приближается к положительной или отрицательной бесконечности, а по мере приближения \(x\) к бесконечности или минус бесконечности функция приближается к нулю.