Прямоугольный треугольник и тригонометрические отношения ☰

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один внутренний угол равен 90 градусам, что также известно как "прямой угол". Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами.
Тригонометрические отношения - это математические функции, которые связывают углы и стороны прямоугольного треугольника. Существует шесть тригонометрических отношений, которые обычно обозначаются как "sin", "cos", "tan", "csc", "sec" и "cot". Каждое отношение представляет собой отношение двух сторон треугольника, и это отношение зависит от рассматриваемого угла.

Три основных тригонометрических отношения - синус, косинус и тангенс. Вот как определить каждое из них:

• Синус: Синус угла - это отношение длины противолежащей стороны к длине гипотенузы.
  Другими словами, \(sin(\theta )=\frac{ \text{противолежащая}}{ \text{гипотенуза}} \) .
• Косинус: Косинус угла - это отношение длины прилегающей стороны к длине гипотенузы.
  Другими словами, \(cos(\theta )=\frac{ \text{прилегающая}}{ \text{гипотенуза}} \) .
• Тангенс: Тангенс угла - это отношение длины противолежащей стороны к длине прилегающей стороны.
  Другими словами, \(tan(\theta )=\frac{ \text{противолежащая}}{ \text{прилегающая}} \) .

Другие три тригонометрические отношения являются обратными функциями основных тригонометрических отношений. Обратной к синусу является косеканс (csc), обратной к косинусу - секанс (sec), а обратной к тангенсу - котангенс (cot).

• Косеканс: \( csc(\theta )=\frac{ \text{гипотенуза}}{ \text{противолежащая}} \) .
• Секанс: \( sec(\theta )=\frac{ \text{гипотенуза}}{ \text{прилегающая}} \) .
• Котангенс: \( cot(\theta )=\frac{ \text{прилегающая}}{ \text{противолежащая}} \).

Тригонометрические отношения используются во многих различных областях, включая физику, инженерное дело и математику. Они особенно полезны для решения задач, связанных с прямоугольными треугольниками, таких как нахождение отсутствующих углов или сторон.

Тригонометрические тождества ☰

Тригонометрические тождества - это уравнения, включающие тригонометрические функции, которые верны для всех значений переменных в уравнении. Эти тождества могут использоваться для упрощения выражений, доказательства других математических результатов и решения различных задач в математике, науке и инженерии.
Существует множество тригонометрических тождеств, и их можно классифицировать по нескольким различным критериям на основе их формы и включенных функций. Некоторые из наиболее часто используемых тригонометрических тождеств включают:

• Пифагоровы тождества: Эти тождества связаны с теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пифагоровы тождества: $$ sin^2 ( \theta )+cos^2 ( \theta )=1 $$ $$ tan^2 ( \theta )+1=sec^2 ( \theta ) $$ $$ cot^2 ( \theta )+1=csc^2 ( \theta ) $$
• Обратные тождества: Эти тождества связаны с обратными функциями основных тригонометрических функций (синус, косинус и тангенс). Обратные тождества: $$ csc( \theta )= \frac{1}{sin( \theta )} $$ $$ sec( \theta )=\frac{1}{cos( \theta )} $$ $$ cot( \theta )=\frac{1}{tan( \theta )} $$
• Тождества частного: Эти тождества связаны с частным двух тригонометрических функций. Тождества частного: $$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$ и $$ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $$
• Тождества четности/нечетности: Эти тождества связаны с симметричными свойствами тригонометрических функций. Тождества четности/нечетности: $$ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $$ $$ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $$ $$ \tan(-\theta) = -\tan(\theta) $$
• Тождества суммы и разности углов: Эти тождества связаны со суммой или разностью двух углов. Тождества суммы и разности углов: $$ \sin(a \pm b) = \sin(a) \cos(b) \pm \cos(a) \sin(b) $$ $$ \cos(a \pm b) = \cos(a) \cos(b) \mp \sin(a) \sin(b) $$ $$ \tan(a \pm b) = \frac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a) \tan(b)} $$

Тригонометрические тождества используются в различных областях, включая физику, инженерию и математику. Они особенно полезны для упрощения выражений, вычисления интегралов и решения уравнений, включающих тригонометрические функции. Запоминая эти тождества и понимая, как их применять, можно стать опытным в работе с тригонометрическими функциями и решении широкого круга задач.

Координаты середины отрезка ☰

Координаты середины отрезка на координатной плоскости можно найти с помощью формулы середины. Если две конечные точки отрезка имеют координаты \( (x_1,y_1 ) \) и \( (x_2,y_2 ) \), то координаты середины будут:

\(\left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}\right) \).

Эта формула работает потому, что середина отрезка - это точка, находящаяся точно посередине между двумя конечными точками. Чтобы найти середину, мы складываем \(x\)-координаты конечных точек и делим на 2, чтобы получить \(x\)-координату середины. Аналогично, мы складываем \(y\)-координаты конечных точек и делим на 2, чтобы получить \(y\)-координату середины.

Например, если конечные точки отрезка - это \((3,2) \) и \((9,8) \), то координаты середины будут:

\(\left(\frac{3 + 9}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = (6, 5) \).
Это означает, что середина отрезка находится в точке \( (6,5) \).

Уравнение прямой через две точки ☰

Уравнение прямой через две точки \( (x_1,y_1 ) \) и \( (x_2,y_2 ) \) можно найти, используя формулу точки и наклона:
\( y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1 ) \), где \(m\) - это наклон прямой, а \((x,y)\) - любая точка на прямой.
Чтобы использовать формулу точки и наклона, сначала найдем наклон прямой, используя формулу наклона: \( m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \).
После того, как мы найдем наклон, мы можем подставить координаты одной из точек, скажем \( (x_1,y_1 ) \), и упростить уравнение, чтобы получить окончательную форму: \( y-y_1=m(x-x_1 ) \).
Эта форма известна как форма точки и наклона уравнения прямой. В качестве альтернативы, мы можем упростить это уравнение далее, раскрыв его и перегруппировав в форму наклон-перехват: \(y=mx-mx_1+y_1\)
Эта форма часто предпочтительна, поскольку упрощает определение \(y\)-перехвата прямой, который представляет собой значение \(y\) при \(x=0\).

Например, если у нас есть две точки \((2,4)\) и \((5,8)\), мы можем найти уравнение прямой, проходящей через эти точки, следующим образом:
Сначала найдем наклон прямой: \( m = \frac{8-4}{5-2} = \frac{4}{3} \)
Затем мы можем использовать любую из двух форм уравнения прямой точки и наклона, чтобы найти уравнение прямой. Давайте используем первую форму: \( y-4 = \frac{4}{3} (x-2) \)
Раскрыв и упростив, мы получаем:
\( y = \frac{4}{3} x - \frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \)
Это форма наклон-перехват уравнения прямой, проходящей через точки \((2,4)\) и \((5,8)\) .

Формула точки и наклона может быть выражена следующим образом:
\( y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1 ) \)
И форма наклон-перехват может быть выражена следующим образом: \(y=mx+b\), где \(m\) - наклон, а \(b\) - \(y\)-перехват.

Преобразование фигур, поворот. ☰

Преобразование фигур включает перемещение заданной фигуры в новое положение без изменения ее формы. Существует четыре основных типа преобразований формы:

• Трансляция: Трансляция включает перемещение фигуры из одного положения в другое без изменения ее размера или формы. Это преобразование также известно как сдвиг или перемещение. При трансляции каждая точка фигуры перемещается на одинаковое расстояние и в одном и том же направлении.
• Поворот: Поворот включает поворот фигуры вокруг фиксированной точки на определенный угол. В этом преобразовании форма и размер фигуры остаются неизменными. Поворот может быть по часовой стрелке или против часовой стрелки.
• Отражение: Отражение включает отражение фигуры относительно линии, называемой линией отражения или осью симметрии. Каждая точка фигуры отражается относительно линии, создавая зеркальное изображение исходной фигуры.
• Дилятация: Дилятация включает изменение размера фигуры путем растягивания или сжатия. В этом преобразовании форма фигуры остается неизменной, но ее размер либо увеличивается, либо уменьшается.

Преобразования фигур могут выполняться на координатной плоскости с использованием алгебраических уравнений. Например, трансляция фигуры может быть выполнена путем добавления или вычитания фиксированного значения из координат \(x\) и \(y\) каждой точки фигуры. Поворот может быть выполнен с использованием формул поворота для определения новых координат каждой точки после поворота. Отражение может быть выполнено с использованием формул отражения для определения новых координат каждой точки после отражения. Дилятация может быть выполнена путем умножения координат \(x\) и \(y\) каждой точки на коэффициент масштабирования.
Преобразования фигур используются во многих областях математики и науки, таких как компьютерная графика, инженерия и физика. Они также используются в искусстве и дизайне для создания интересных и эстетически приятных узоров и дизайнов.

Поворот - это одно из основных преобразований, которое можно применить к 2D-фигурам. Поворот - это преобразование, при котором фигура поворачивается вокруг фиксированной точки, называемой центром поворота. Фигура поворачивается на определенный угол \( \theta \) либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.
Поворот фигуры выполняется путем поворота каждой точки фигуры на один и тот же угол \( \theta \) вокруг центра поворота. Расстояние между центром поворота и каждой точкой фигуры остается неизменным после поворота. Полученная фигура называется изображением исходной фигуры.
Для выполнения поворота фигуры нам необходимо знать центр поворота и угол поворота. Центром поворота может быть любая точка на плоскости. Угол поворота измеряется в градусах или радианах и может быть положительным (против часовой стрелки) или отрицательным (по часовой стрелке).

Если фигура повернута на угол \( \theta \) вокруг начала координат \((0,0) \), мы можем использовать следующие формулы для нахождения координат повернутой точки \((x',y' ) \) при известных координатах исходной точки \((x,y)\):
\( x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \)
\( y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \)

Если фигура повернута на угол \( \theta \) вокруг точки \((h,k)\), мы можем использовать следующие формулы для нахождения координат повернутой точки \((x',y' ) \) при известных координатах исходной точки \((x,y)\):
\( x' = (x - h)\cos(\theta) - (y - k)\sin(\theta) + h \)
\( y' = (x - h)\sin(\theta) + (y - k)\cos(\theta) + k \)
Эти формулы могут быть использованы для поворота любой точки на плоскости вокруг любого центра поворота.

Для визуализации поворота рассмотрим следующий пример:
Предположим, что мы хотим повернуть точку \((2,3)\) на \(90^\circ \) против часовой стрелки вокруг начала координат \( (0,0) \). Используя формулы поворота, мы получаем:
\( x^{\prime} = 2\cos 90^\circ - 3\sin 90^\circ = -3 \)
\( y^{\prime} = 2\sin 90^\circ + 3\cos 90^\circ = 2\)
Таким образом, повернутая точка будет \( (-3,2) \). Мы можем проверить это, построив точку \( (2,3) \) и точку \( (-3,2) \) на координатной плоскости и визуально проверить, что повернутая точка получается поворотом исходной точки на \( 90^\circ \) против часовой стрелки вокруг начала координат.

Формулы поворота могут быть выражены следующим образом:
\( x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) \)
\( y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \)
\( x' = (x - h)\cos(\theta) - (y - k)\sin(\theta) + h \)
\( y' = (x - h)\sin(\theta) + (y - k)\cos(\theta) + k \)

Трансформация подобия. Гомотетия. ☰

Трансформация подобия и гомотетия - два математических концепта, используемых для описания геометрических преобразований в плоскости. Оба преобразования сохраняют форму объектов, но они различаются в том, как они изменяют их размер и ориентацию.

Трансформация подобия:
Трансформация подобия - это преобразование, которое сохраняет форму объекта, изменяя его размер и ориентацию. Это означает, что если два объекта подобны, то один может быть преобразован в другой через трансформацию подобия. Трансформация подобия состоит из комбинации дилатации (масштабирования) и поворота.
Более конкретно, трансформация подобия точки на плоскости состоит в умножении ее координат на коэффициент масштабирования \(k\) и повороте на угол \( \theta \). Трансформация может быть записана как:
\( (x',y' )= k(R( \theta )(x,y)) \), где \((x,y) \) - координаты исходной точки, \((x',y') \) - координаты преобразованной точки, \(k\) - коэффициент масштабирования, а \( R( \theta ) \) - матрица поворота на угол \( \theta \).

Некоторые важные свойства трансформаций подобия включают:

• Они сохраняют углы между линиями.
• Они сохраняют соотношение расстояний между любыми двумя точками на объекте.
• Они не изменяют ориентацию (по часовой стрелке или против часовой стрелки) объекта.

Гомотетия - это тип трансформации подобия, который включает только дилатацию (масштабирование) объекта. Другими словами, гомотетия - это преобразование, которое сохраняет форму объекта, изменяя его размер. Гомотетия может быть описана одним параметром - коэффициентом масштабирования \(k\).
Математически, гомотетия точки на плоскости состоит в умножении ее координат на коэффициент масштабирования \(k\). Трансформация может быть записана как: \( (x',y' )= k(x,y) \), где \((x,y)\) - координаты исходной точки, а \( (x',y') \) - координаты преобразованной точки.

Некоторые важные свойства гомотетий включают:

• Они сохраняют форму объекта.
• Они изменяют размер объекта, но не его ориентацию.
• Они сохраняют соотношение расстояний между любыми двумя точками на объекте.

В заключение, трансформации подобия и гомотетии - это оба важных концепта в геометрии, которые описывают, как объекты могут быть преобразованы, сохраняя их форму. Трансформации подобия включают комбинацию масштабирования и поворота, в то время как гомотетии включают только масштабирование.