Формула для расстояния между двумя точками ☰

Формула для расстояния между двумя точками \(P_1 (x_1,y_1 ) \) и \(P_2 (x_2,y_2 ) \) на плоскости называется формулой расстояния: $$ d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 } $$ где \(d\) - расстояние между двумя точками.

Формула расстояния выводится из теоремы Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длинной стороны) равен сумме квадратов длин двух других сторон. На плоскости Кардано расстояние между двумя точками можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника, где \(x\)- и \(y\)-разности между двумя точками являются другими двумя сторонами.
Чтобы вывести формулу расстояния, мы можем нарисовать прямоугольный треугольник с одной стороной вдоль оси \(x\), а другой стороной вдоль оси \(y\). Длина гипотенузы - это расстояние между двумя точками. Разность между \(x\)-координатами двух точек равна \(x_2 – x_1 \), а разность между \(y\)-координатами равна \( y_2 – y_1 \). Применяя теорему Пифагора, мы имеем: $$ \text{(расстояние)}^2= \text{(длина разности по x)}^2 + \text{(длина разности по y)}^2 \rightarrow d^2= (x_2 - x_1 )^2 + (y_2 - y_1 )^2 $$ Извлечение квадратного корня из обеих сторон дает нам формулу расстояния: $$ d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 + (y_2-y_1 )^2 } $$ Формула расстояния может быть использована для нахождения расстояния между любыми двумя точками на плоскости Кардано. Это фундаментальная формула в геометрии и используется в различных приложениях, таких как нахождение кратчайшего расстояния между двумя точками, вычисление расстояния, пройденного объектом, и решение задач оптимизации.

Уравнение окружности ☰

Уравнение окружности на плоскости Кардано задается следующим образом: \( (x-h)^2 +(y-k)^2 =r^2 \), где \( (h,k) \) - центр окружности, а \(r\) - радиус.
Уравнение окружности выводится из формулы расстояния, которая утверждает, что расстояние между двумя точками \( (x_1,y_1 ) \) и \( (x_2,y_2 ) \) определяется следующим образом: $$ d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2 +(y_2-y_1 )^2} $$ В случае окружности каждая точка на окружности одинаково удалена от центра. Поэтому, если у нас есть точка \( (x,y) \) на окружности с центром \( (h,k) \) и радиусом \(r\), мы можем установить \(d = r \) в формуле расстояния: $$ r= \sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2} $$ Возводя обе стороны этого уравнения в квадрат и упрощая, мы получаем уравнение окружности: $$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$ Это уравнение показывает, что множество всех точек \( (x,y) \), удовлетворяющих уравнению, является окружностью с центром \( (h,k) \) и радиусом \(r\).

Координаты точек на окружности и тригонометрические соотношения ☰

При работе с окружностями часто бывает полезно знать координаты точек на окружности и тригонометрические отношения, связанные с этими точками. Рассмотрим окружность радиуса \(r\), центрированную в начале координат \( (0,0) \) с точкой \( P(x,y) \) на окружности.
Вот несколько важных концепций, связанных с координатами точек на окружности и тригонометрическими отношениями:

Координаты точек на окружности: Если точка \( P(x,y) \) лежит на окружности радиуса \(r\), тогда $$ x^2 + y^2 = r^2 $$ Это означает, что если мы знаем значение \(r\) и координаты одной точки на окружности, мы можем найти координаты любой другой точки на окружности.
Чтобы найти координаты точек на окружности, сначала нам нужно знать центр окружности и ее радиус. После этого мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти координаты любой точки на окружности.
Предположим, что центр окружности находится в точке \( (h, k) \), а радиус - \( r \). Пусть \( \theta \) - это угол между положительной осью \( x \) и линией, соединяющей центр окружности с точкой интереса на окружности (измеренный против часовой стрелки). Тогда координаты точки на окружности будут: $$ x = h + rcos( \theta ) $$ $$ y = k + rsin( \theta ) $$ Здесь \( cos( \theta ) \) и \( sin( \theta ) \) - это функции косинуса и синуса угла \( \theta \) соответственно.

Тригонометрические отношения: Учитывая точку \( P(x,y) \) на окружности, мы можем определить шесть тригонометрических отношений на основе угла \( \theta \), образованного между линией, проходящей через начало координат и точку \(P\), и положительной осью \(x\). Эти отношения выглядят следующим образом:

• Синус: \( \sin \theta = \frac{y}{r} \)
• Косинус: \( \cos \theta = \frac{x}{r} \)
• Тангенс: \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)
• Косеканс: \( \csc \theta = \frac{r}{y} \)
• Секанс: \( \sec \theta = \frac{r}{x} \)
• Котангенс: \( \cot \theta = \frac{x}{y} \)

Обратите внимание, что эти отношения зависят только от угла \( \theta \) и радиуса \(r\), а не от координат точки \(P\).

Тригонометрические функции особых углов: Для определенных углов тригонометрические отношения имеют специальные значения. Например, если \( \theta = 0 \), то \(P\) лежит на положительной оси \(x\), поэтому \(sin \theta = 0 \), \( cos \theta = 0 \) и \( tan \theta = 0 \).
Аналогично, если \( \theta = \frac{\pi}{2} \), то \(P\) лежит на положительной оси \(y\), поэтому \(sin \theta = 1 \), \( cos \theta = 0 \) и \(tan \theta \) не определен.

Применение: Координаты точек на окружности и тригонометрические отношения используются в различных областях, таких как навигация и инженерия. Например, в геодезии расстояние между двумя точками можно вычислить с помощью тригонометрии, а в инженерии тригонометрия используется для расчета углов опорных балок и длин кабелей.

В заключение, координаты точек на окружности и тригонометрические отношения - важные концепции при работе с окружностями. Координаты точки на окружности можно найти, зная радиус и координаты другой точки, а тригонометрические отношения основаны на угле между линией, проходящей через начало координат, и точкой на окружности. Эти отношения имеют специальные значения для определенных углов и используются в различных областях, таких как навигация и инженерия.

Сектор и Сегмент Круга ☰

Круг - одна из самых важных геометрических фигур, и у него есть несколько частей, которые представляют интерес, включая сектор и сегмент.

Сектор круга: Сектор круга - это область, ограниченная двумя радиусами и дугой. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным углом сектора. Сектор круга похож на ломтик пиццы.
Площадь сектора круга можно найти с помощью следующей формулы: $$ A = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 $$ где \(r\) - радиус круга, а \( \theta \) - центральный угол сектора в градусах.
Обратите внимание, что в формуле угол \( \theta \) должен быть в градусах. Если \( \theta \) задан в радианах, его необходимо сначала преобразовать в градусы, умножив на \( \frac{180}{\pi} \), прежде чем использовать формулу.
Чтобы найти площадь сектора круга, мы используем формулу: $$ A= \frac{1}{2} r^2 \theta $$ где \(r\) - радиус круга, а \( \theta \) - центральный угол сектора в радианах.

Сегмент круга: Сегмент круга - это часть круга, ограниченная хордой и отсекаемой ею дугой. Существуют два типа сегментов: большой сегмент и малый сегмент. Большой сегмент - это часть круга, находящаяся за пределами хорды, в то время как малый сегмент - это часть круга, находящаяся внутри хорды.
Чтобы найти площадь сегмента круга, мы используем формулу: $$ A = \frac{1}{2} r^2 (\theta -sin \theta) $$ где \(r\) - радиус круга, а \( \theta \) - центральный угол сегмента в радианах.

Длина дуги сектора задается формулой: $$ L=r \theta $$ где \(L\) - длина дуги, а \( \theta \) - центральный угол сектора в радианах.
Эти формулы могут использоваться в различных геометрических задачах, связанных с кругами, например, для нахождения площади куска пиццы или площади секции круглого сада. Они также могут использоваться в исчислении для нахождения производных функций, связанных с кругами, например, производной площади сектора по центральному углу.