Закон синусов ☰

Закон синусов, также известный как правило синусов, - это математическое правило, используемое для решения треугольников, которые не являются прямоугольными. Он связывает длины сторон треугольника с синусом их противолежащих углов. Рассмотрим треугольник со сторонами длиной \(a\), \(b\) и \(c\), и углами напротив этих сторон с мерами \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно.
Закон синусов утверждает, что: \( \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} \)

Другими словами, отношение длины каждой стороны к синусу ее противолежащего угла одинаково для всех сторон. Это отношение часто обозначается символом \(R\) и называется описанной окружностью треугольника. Следовательно, закон синусов также может быть выражен как:
\( \frac{a}{R} = \frac{b}{R} = \frac{c}{R} \)

Закон синусов можно использовать для определения длины стороны или измерения угла треугольника, учитывая длины двух сторон и измерение угла напротив одной из них, или учитывая длины двух сторон и измерения углов напротив них.
Чтобы найти длину стороны, скажем сторону \(a\), мы можем использовать формулу:
\( a = R \cdot sin A \)

Чтобы найти меру угла, скажем угол \(A\), мы можем использовать формулу:
\( sin A = \frac{a}{R} \)

Важно отметить, что закон синусов можно использовать только в непрямоугольных треугольниках, и он может не всегда давать единственное решение. В частности, если известны две стороны и их включенный угол, может быть два возможных треугольника. В таких случаях можно использовать закон косинусов, чтобы определить, какое из двух решений является правильным.

Вот несколько дополнительных моментов, которые следует учитывать при работе с законом синусов:

Несоответствие: Как уже упоминалось ранее, при использовании закона синусов может возникнуть неопределенность, которая возникает, когда с заданными данными можно сформировать два треугольника. Это известно как неопределенный случай или случай двух треугольников. В этом случае нам нужно использовать дополнительную информацию, такую как длины другой стороны или измерения другого угла, или нам нужно использовать закон косинусов, чтобы определить, какое из двух возможных решений является правильным.

Диапазон значений: Синусоидальная функция имеет диапазон значений от -1 до 1, поэтому отношение длины стороны к синусу ее противолежащего угла должно быть положительным числом. Это ограничивает диапазон возможных значений для углов и сторон треугольника. В частности, наибольший угол треугольника должен быть меньше или равен 90 градусам, и отношение длины любой стороны к синусу ее противолежащего угла должно быть больше или равно 2 (в противном случае угол будет слишком большим для заданных длин сторон).

Единицы измерения: Единицы измерения, используемые для сторон и углов, должны быть согласованы. Например, если длины сторон измеряются в сантиметрах, то углы должны быть измерены в радианах или градусах. Важно выполнять преобразование между различными единицами измерения по мере необходимости, чтобы обеспечить согласованность.

Применение: Закон синусов используется в различных областях, таких как навигация, геодезия и инженерия. Его можно использовать для определения высоты объекта, расстояния между двумя точками или угла наклона склона.

В целом, закон синусов - это мощный инструмент для решения непрямоугольных треугольников и имеет важное значение в различных областях. Однако важно знать его ограничения и потенциальные неоднозначности при работе с ним.

Закон косинусов ☰

Закон косинусов - это фундаментальная теорема в тригонометрии, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов. Он особенно полезен для решения треугольников, когда угол между двумя известными сторонами дан, или когда известны все три стороны и вы хотите найти углы. Закон косинусов является обобщением теоремы Пифагора, которая является специальным случаем для прямоугольных треугольников.

Для любого треугольника со сторонами длиной \(a\), \(b\) и \(c\), и углами напротив этих сторон, обозначенными \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно, закон косинусов утверждает:
\(c^2 =a^2 + b^2 - 2ab \cdot cosC \)

Вы также можете выразить закон косинусов для других двух сторон:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cosA \)
\( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cosB \)

Вот краткий обзор шагов для решения треугольника с использованием закона косинусов:

Определите данную информацию: У вас должно быть как минимум три куска информации о треугольнике, включая по крайней мере одну длину стороны.

Определите соответствующую форму закона косинусов: Основываясь на данной информации, выберите версию закона косинусов, которая поможет вам найти недостающую длину стороны или угол.

Подставьте известные значения: Вставьте известные значения в выбранную формулу.

Решите для неизвестного: Используйте алгебраические методы и/или калькулятор, чтобы найти недостающую длину стороны или угол.

Повторите шаги 2-4 по мере необходимости: Продолжайте использовать закон косинусов или другие тригонометрические отношения (например, закон синусов), чтобы найти оставшиеся неизвестные длины сторон и углы.

Закон косинусов является важным инструментом для решения непрямоугольных треугольников (треугольников без прямого угла), поскольку он позволяет находить неизвестные длины сторон и углы при наличии достаточной информации. Он также предоставляет способ проверки, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.
Если \(c^2 < a^2 + b^2 \), треугольник остроугольный.
Если \(c^2=a^2 + b^2 \), треугольник прямоугольный.
Если \( c^2> a^2 + b^2 \), треугольник тупоугольный.